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提示
填在中间的格子里的数字是关键
解题 巧填奇数
把横、竖、斜线数字之和设为S,每个格子里的数字如图所示
A B C
D E F
G H I
3S=(A+B+C)+(D+E+F)+(G+H+I)=81
所以 S=27
把中间的格子里的E算在内,其和为
A+E+I=27 B+E+H=27 C+E+H=27 D+E+F=27
因此 A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=27x4
81+3E=108
所以 E=9
然后再按照(算式省略)算式把数字试着填进格子里,定下来17、15、13的位置。
答案
15 5 7
1 9 17
11 13 3
如右图(图略),偶数的方形矩阵也很简单。此例题例举了0到16的偶数(0也是偶数)
14 0 10
4 8 12
6 16 2
7、难画也要画 15分
问题
请使用圆规和格尺把√2、√3、√4、√5标在一条直线上。
(图略)
提示
留意正方形的对角线。
解题 难画也要画
边长为1的正方形的对角线长度,根据勾股定理,应该等于√2。
即算式为 (12 + 12 = √22)
那么,长是1、宽是√2的长方形的对角线的长度、根据勾股定理应该等于√2。算式为
(算式省略)
那么,√5的长度也可以用同样的方法算出来。
答:
(图略)
小知识
如果不是在一条直线上,像下图那样用格尺也可以做成无理数。
(图略)
3、方程式的篇章
“方程式”的功能
在希腊的几何学中心,第欧范德斯)(246?330?)在研究方程式
上面为后人留下宝贵的财富。人们为了歌颂他的丰功伟绩,在他的
墓碑上竟然刻着最古老的方程式的问题。
第欧范德斯生涯的6分之1在少年、12分之1在青年、又经过7分
之1后结了婚。结婚5年后有一个孩子,但是这个孩子在父亲去世的
4年前也就是父亲生涯的一半时去世了。
设第欧范德斯在X岁时去世
算式为: (算式省略)
X=84岁。 这个问题决不是什么难题吧。
在本章里所列出的方程式和这个问题同样,都是中学1、2年级的水平,决没有使用高难度的定理。可以说是算数的延伸。
然而,掌握思考的能力是非常有用的,逻辑性的思考是方程式的生命。
1、墨斗鱼、章鱼和海星各有几只? 15分
问题
有墨斗鱼、章鱼和海星共12只,总共有87只脚。
那么请问, 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只呢?
提示
墨斗鱼的脚是10只、章鱼的脚是8只、海星的脚是5只。
解题 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只?
把墨斗鱼、章鱼和海星分别设为X只、Y只、Z只。
头 数: X+Y+Z=12。。。。。。①
脚合计: 10X+8Y+5Z=87。。。。。。②
所以: y = (27…5x)/3
由于Y是整数。所以必须用3除去 27…5x。因此,x=3
所以 Y=4、Z=5
答案
墨斗鱼3只、章鱼4只、海星5只。
小知识角
刚才我们计算过的'计算墨斗鱼、章鱼和海星',是有名的鹤龟计算的应用。鹤龟计算的元祖是记载在3世纪中国的数学书'孙子算经'里面的。那时并不是鹤和龟,而是野鸡和兔子。
日本初次提到这类问题是在17世纪的'因归算歌'里,仍然是野鸡和兔子。
内容是'野鸡和兔子共有32只,数一数脚有94只。野鸡和兔子各有多少只?'
虽然用方程式很简单就能解题,但是在这里让我们用传统的假设方法做一做试试。
假设全部是野鸡的话,应该有64(32×2)只脚。由于实际有94只脚,比64只多出30只脚。
如果把这30只脚考虑成是兔子的前脚,那么兔子就有15(30÷2)只。
所以剩下的17只是野鸡。
从此以后,在日本有青蛙、犬、鸟等各种各样的动物陆续登场,最后好像一直到19世纪
前期(江户末期)定为鹤和龟了。
(图略)
(提高能力)
2次方程式的题解和公式
相加是13、相乘是36的两个数字是什么数?咋一看好像很难似的,其实很简单。用'急转弯',首先我们考虑一下2次方程式ax2 + bx + c(a≠0)的解的公式。
把C移到右边、再用a除以两边。
(算式省略)
由于想做成平方的形式,要在两边加上(算式省略)。
(算式省略)
把左边变为平方的形式、就是
(算式省略)
根据这个算式,2次方程式ax2 + bx + c的2个解是、相加是(算式省略)、相乘是(算式省
略)。
也就是说开头的问题,相加是13、相乘是36的两个数字只要把2次方程式ax2 + bx + c解
开就行。从上列公式我们算出
X=4、9
本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。
x2 -13x + 36 = (x-4)(x-9) = 0
2、配错了的浓度是多少? 15分
问题
把20%的糖水和30%糖水混在一起,想配成24%的糖水,可是一不小心把比例弄反了。
请问配错了的糖水的浓度是多少?
(图略)
提示
本来打算配制的比例是多少?
解题 配错了的浓度是多少?
(图略)
本来打算配制的比例是
20%的糖水的量:30%糖水大量
=(24…20):(30…24)
=2:3
把配错了的糖水设为x%
本来应该按2:3配制,结果配制成了3:2。所以
(x…20):(30…x)=3:2
因此 x=26
答案 26%
3、球的大小 15分
问题
想把两个同样大的排球装在圆柱形的箱子里,装进去一看,像下图那样正好装满。圆柱
的底边直径为32cm,高为36cm
那么球的半径是多少cm呢?
(图略)
提示
画一个通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图看看。
解题 球的大小
像下图这样画出通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图。
(图略)
设球的半径为r(cm)
AB=2r
AC=36…2r
BC=32…2r
根据勾股的定理
(算式省略)
因此
(算式省略)
整理上式为
(算式省略)
由于 r小于32(圆柱的底边),所以
r=10(cm)
答案 球的半径为10cm
4、最大的积是多少? 15分
问题
组合从0到9的数字,请排列出两组最大的积。每个数字只能用一次。
提示
两组数之和为一定时,两组数的差越小,其积也就越大。那么我们设两个组数分别为
a+b、a…b、就会得出
(a+b)(a…b)=a2-b2
所以可以得知 b=0时的积最大。
解题 最大的积是多少?
两组数的第一位数是9和8的情况下,两组数的差最小,积也最大。
下一位数是6和7,如果和9和8组合在一起,即 96和87。这两组数的差最小,积也最大。
(96…87=9、97…86=11)
同样,把接下来的位数4和5像964、875这样组合,两组数的差最小,积也最大。
再把下一位的数2和3像9642、8753那样组合,两组数的差最小,积也最大。
把最后的0和1也像96420、87531这样组合,由于两组数的差最小,所以积也就最大。
这就是我们想要的答案。
答案 96420和87531
5、同时打开 20分
问题
水槽上安装着3个水龙头。第1个龙头打开10分钟、第2个龙头打开15分钟、第3个龙头
打开30分钟后水槽里的水流完。
那么请问,如果把3个水龙头同时打开,经过几分钟水槽会空呢?
提示 注意每个龙头1分钟的流量。
解题 同时打开
设水槽里的水量为V,把第1个龙头、第2个龙头、第3个龙头打开时1分钟的流量分别设
为V1、V2、V3 于是有:
(算式省略)
设打开3个龙头后,水槽里的水流完的时间为t 于是
(算式省略)
答案 5分钟
第二部分第2节
6、牧草是边吃边长的 30分
问题
这是牛顿(1642~1727)想出来的问题。
把9头牛放牧在2英亩的牧场上,16天把牧草吃光。又把18头牛放牧在3英亩的牧场上,10天把牧草吃光。
那么请问,把35头牛放牧在5英亩的牧场上,多少天能把牧草吃光?
关于面积单位,我们假定放牧前牧草的量和每天牧草生长的量相同。并且每头牛每天吃
的牧草的数量也相同。
(图略)
提示
虽然用单纯的比例计算就可以求出结果,但是牧草在被吃掉的同时也是生长的,所以不是那么简单哪。
解题 牧草是边吃边长的
设在1英亩牧场里放牧前所生