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认为数学模型及其结果总是正确的，科学的，这也是荒谬的。虽然基于一组自封闭的公理系统的数学本身，在前提正确和推理无误的条件下，结果必然正确。但是数学模型毕竟不是数学理论，它基于关于原型的假说，因此数学推证充其量是一个佐证。假说必须用事实验证，换言之，不论是前提还是结果都必须以事实为依据。最后需要指出的错误观点是认为数学模型没有用处。我们且不赘举数学模型的辉煌成就，仅以质与量是构成事物属性的两个方面，缺少量的刻划则无法全面地认识事物，就足以反驳这种观点。
本书着重探讨经济数学模型化方法以及模型化理论与程序。在经济工作中利用数学模型进行分析、预测、研究和决策，往往可以增加收益，降低消耗、减免风险、缩短时间、合理地利用有限的资源以获得最佳的效益。随着计算机的普及和计算机技术的发展，数学模型在经济领域将有更广泛的应用。
§1。2 数学模型基本概念
数学模型是相对于一定的概念、系统、或过程而存在的。E。A。本德＇5＇在他的《数学模型引论》中这样写道：〃数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的数学结构。〃具体地讲，数学结构就是由若干字母、数字、及含有特定意义的符号建立起的等式、不等式、序关系、逻辑式、图表、图象和框图。数学模型和原型是一对范畴，相互依存、相互对立。孤立的数学结构不是严格意义下的数学模型。数学模型化的概念与数学模型不同，它是指建立数学模型和利用数学模型的全过程。可以断言，从研究数学模型转到研究数学模型化是一个必然的趋势。模型化研究具有广阔前景。
在此我们介绍几个简单的模型，使我们形成对数学模型的直观认识。
【例1。2。1】资源的配置
资源短缺是全世界共同面临的问题。如何有效地利用现有的资源，使经济单位自身的经济效益最大，乃是许多经济学家研究的课题。虽然原型的差异甚多，我们仍可抽象地假设原型问题是利用m种有限资源生产n种商品的最佳决策。如果已知第i种商品的单位创利额是ci；（i=1；…；n）；生产单位商品i需消耗aij单位的资源j；（i=1；…；n j=1；…；m）；现有资源j的总量为bj，（j=1；…；m）；待决策的商品i的数量为xi，（i=1；…；n）。则可得出决策的选择范围是满足下列约束条件的x=（x1；…xn）T
j=1；…；m
xi 3 0
判别决策优劣的目标是创利额
我们记x=（x1；…xn）
A=（aij）n′m
C=（c1；…cn）T
b=（b1；…bn）T
就得到一个数学模型
max cTx （1…2…1）
s。t。 Ax￡ b
x3 0
这个数学结构称为线性规划，与其相应的有完整的理论与算法。
【例1。2。2】 人口的预测
人口问题困扰着许多发展中国家，经济学家对人口预测作过许多尝试。我们考虑一种最简单的情况。假设某个国家在时刻t=t0年的人口数目x（t0）=x0，由历年统计加权得到平均出生率h，平均死亡率d，于是对t 3 t0可以得到一个粗糙的模型
或
其中，r = h－d是净生殖率，由初始条件解出
利用这个模型我们可以预测这个国家未来的人口。这个简单模型说明在外界条件不变的情况下，人中将呈指数增长。
【例1。2。3】 马克思的生产模型
马克思认为，在一定时期内社会总产品的价值是由三部分构成的：1）在此期间消耗的生产资料价值，即不变资本c；2）在此期间内用于生产过程的劳动力价值，即可变资本v；3）被资本家剥削的剩余价值m。依据生产资料的性质，马克思把国民经济分为两大部类，即生产生产资料的第一部类和生产消费资料的第二部类。由定义，两部类的总价值分别为
I=c1＋v1＋m1
II=c2＋v2＋m2
总价值
TV=I＋II
马克思指出：如果要维持简单再生产，则国民经济总处于同一水平。这时，生产资料的总需要应和第一部类的总价值相等；消费资料的需要应和第二部类的总价值相等。于是，我们得到
c1＋c2 =I
v1＋m1＋v2＋m2 =II
我们注意到从前式可以推出后式，反之亦然。而且，都与数学结构
v1＋m1 =c2
等价。即第一部类的可变资本和剩余价值等于第二部类的不变资本。值得指出的是：虽然两个数学模型不同，但可能在数学结构上〃等价〃。
【例1。2。4】常胜的赌徒
赌场如战场，有胜亦有败。但如果在自由下注的赌场，则有常胜的可能性。假如某位不贪心的赌者依据下列决策赌搏：
1。每次上赌场的目标是赢一元钱
2。一旦赢钱立刻停赌
那么他第k次的赌注为2k…1
；总赌注： Bk = 1＋2＋22＋…＋2k…1
=2k－1
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1…p。显然，连输k次的概率是qk。因此k次赌搏之中至少有一次赢的概率为1－qk，不论〃常胜〃意味胜的概率P0有多大，只要p》0且P0 P0
换言之，如果赌徒筹措到足够多的本钱n，则可望百战百胜。模型为
n （1…2…2）
s。t。 1－qk 》 P0，
2k－1 ￡ n，k为正整数
不难解出
当然，这是个数学游戏，因为输光头的概率毕竟存在！
现在我们考虑数学模型的基本概念与性质。首先给出如下定义：如果相应于某种体系的相依关系或逻辑关系，用形式化的数学语言概括地或近似地表述成为一个数学结构，则称这个数学结构为该体系的一个数学模型，记作M，称该体系为M的原型，记作P。
由定义不难得出，以下结论：一个原型可以有不同的数学模型，模型不唯一；而一个模型的数学结构则有可能是不同原型的模型，即有多个原型相对应，因此反之是有条件的。一个数学结构自身必须在数学意义下协调，不能相悖，但是对刻划同一体系的模型而言，由于假说与解释的方式不同，我们将允许相悖。正如物理学中描述物体运动的牛顿模型
和爱因斯坦模型
在数学意义下相悖。但都成功地刻划了物体运动的规律。
我们把欲模型化的现象、问题、过程、体系，乃至用某种语言表示的系统，统称为原型，并记之为P。虽然原型应相对于模型而存在，我们隐含假设任何事物都存在着数学模型，只是不一定令人满意罢了。数学结构是一个有机的整体，可分性概念是有益的。如果数学结构MS可以分解为若干子结构MSa，a？L，其中L是非单点指标集，则称该数学结构是可分的。并记 。
下面我们举例说明可分性。
【例1。2。5】依据凯恩斯的经济理论，针对封闭的宏观经济体系，可建立如下模型，
M：
其中主要变量有内生变量：Y（国民收入），C（消费），I（投资）和R（利率）；外生变量：G（政府开支）和M（货币供给）以及前定变量：P（价格水平）。四个方程式分别是国民收入定义式、消费需求方程式、投资需求方程式和货币需求方程式。其中a，b，t，e，d，k，h则为参数。不考虑派生结构。
模型M可以分解成若干种互不相同的分结构。例如可分成
M1：
M2：
连同假设一起考虑，M1中有4个内生变量和一个外生变量，故知其不唯一地确定变量的值。同理M2亦然。这些分结构可能没有合适的经济背景，所以称不上模型。对数学模型进行分解时，必须考虑假设的相应变化及经济解释。经济学家常把模型M置放在（Y，R）空间，从而得到十分重要的IS曲线和LM曲线，并成功地利用它们说明了许多经济问题。其分解如下：
IS：
LM：M=（kY－hR）P
IS曲线表示出满足国民收入定义式，消费需求和投资需求的利率R与国民收入Y的组合形式；LM曲线表示货币供给等于货币需求时国民收入Y和利率R的变动轨迹。IS曲线和LM曲线的交点恰为数学模型M的唯一解。利用恰当的分解，能够得到许多意想不到的信息。如本例中，分解M=M1∩M2似乎难有合理的经济解释，但分解M=IS∩LM则是最出色的分解。然而若不分解M，则只能得到唯一的解（Y*，C*，R*）T，失去了研究各种经济力量如何影响均衡的机会。综上所述，我们看到分解就是将数学模型的若干部分孤立起来，撇开广泛的、总的联系。同时，想到原结构是一个整体结构，要考察子结构之间是如何发生联系的。
为了便于讨论，我们引入模型元的概念，如果数学模型的结构MSa是MS的一个结构元或模型元，细心的读者可能注意到我们有时并没有严格地区分数学模型与数学结构。我们约定今后将在承认差异下一视同仁。
模型元并不一定是最基本的构模元素，只是具有相对独立性的〃小〃模型罢了。基本的构模元素有以下五种：
1。 数据：与原型有关的数字、图形、以及可定量化的其他信息。
2。 变量：假定属于已知值域的任何值。变量有独立与相关、内生与外生、先决与滞后等区别。
3。 参数：在特定的模型中只能假定取一固定数值的量。有固定与可变、可调与不可调之分。
4。 数学式：用以联系变量、参量的相依序关系的符号，如〃=〃、〃