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她翻了个白眼。“不可能！这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果，无法绕过。我可以担保。”
７
１９３６年，格哈德·根茨恩提出了一种对算术一致性的证明，可是要做出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根茨恩所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。
７ａ
卡拉汉从贝克利大学打电话来说他也不能雪中送炭，但表示愿意继续研究她的论文，似乎她触及到了某种本质的、而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系，因为这个形式体系虽然的确包含他们两人都无法发现的错误，但数学界肯定会有人能够发现的。
雷内几乎没有听见他说话，只是嘀咕今后她会打电话联系他的，近来，她与人讲话很困难，尤其是自从那次与卡尔争论以来，情况更糟糕。系里的同事们都尽量避开她。她显得心不在焉，前一天夜里她做了一个噩梦，梦见她发现了一种形式体系，可以使她将主观概念转换成数学语言，然后，她证明了生与死是相同的。
有一种可能性让她十分惊恐：她正能正在失去理智。她肯定在失去清晰的思维，这与失去理智已经相差无几了。
她责备自己，你是一个多么可笑的女人。哥德尔证明他的不完全定理后自杀了吗？
但是，哥德尔的定理是优美的，让人肃然起敬，是雷内所见到的最优美的一个定理。
而她自己的证明却嘲讽她，讥笑她。就好像谜题书中的一道难题，它说：这下我可把你难住了。你跳过这个错误，查看自己在哪儿出了问题，结果绕了一圈又兜回来，那个难题再一次对你说：又把你难住了。
她估计卡拉汉会考虑她的发现对数学的意义。数学的许多内容并没有实际用处，她的理论也可以仅仅作为一种形式而存在，研究它只是为了它包含的智力美。但这是不能持久的。自相矛盾的理论实在太无意义了，绝大多数数学家只会厌恶地置之不理。
使雷内真正感到恼火的是她自己的直觉出卖了她。那个该死的定理大有道理。它以自己怪异的方式，给人一种感觉，它是正确的。她理解它，知道它是真实的，并且相信它。
７ｂ
想到她生日那天的情景，卡尔微笑起来。
“我不相信！你怎么可能知道？”她手里抱着一件毛衣，跑下楼来。
去年夏天，他们俩在苏格兰度假。爱丁堡一家百货商店有一件毛衣吸引住了雷内的眼光，但当时她没有买。于是他订购了这件毛衣，放在她的梳妆台抽屉里，等那天早晨给她一个惊喜。
“你这个人太容易被人一眼识破了。”他取笑她。夫妻俩都知道这话不是真话，但他还是喜欢这样告诉她。
那是两个月前的事情了。差点两个月。
现在情况不同了，需要改变一下做法。卡尔走进雷内的书房，发现她坐在椅子上，眺望窗外。“猜一猜我为我们俩搞到了什么？”
她抬起头来。“什么？”
“周末预订。在比尔特莫尔订了一套房间。我们可以放松放松，什么都不做——”
“请别说下去了。”雷内说，“卡尔，我明白你的心意。你想我们做点愉快的事情，好让我散散心，不去想这个形式体系。但不起作用。你不知道这个对我究竟是什么样的压力。”
“算了吧。算了吧。”他拉住她的手，想把她从椅子上拉起来，可是她挣开了。卡尔稍站片刻，突然她转过身来，死死盯着他。
“我想吃安眠药，这你知道吗？我几乎希望自己是一个白痴，用不着去思考形式体系。”
他大吃一惊，不知道说什么好。“你至少可以试试离开一段时间，为什么不呢？有益无害呀，说不准会分散你的心思呢。”
“没有什么可以使我分散心思。你不明白。”
“那就解释给我听吧。”
雷内呼出一门气，转身想了一下。“就好像我看见的一切都在向我大喊大叫那个矛盾。”她说，“现在我一直在给不同的数字列等号。”
卡尔陷入了沉默。突然间，他懂了。“这就好像面对量子力学问题的古典物理学家们。仿佛你一直相信的理论给取代了，而新的理论又没有意义，但不知怎么回事，所有证据却都支持这种新理论。”
“不对，压根儿不是那么一回事。”她几乎对他的说法嗤之以鼻，“这与证据没有丝毫关系；这完全是先验的。”
“怎么不同？你的推理和证据之间互相矛盾，这不正是你的问题吗？”
“基督呀，你在开玩笑吗？我测算一和二相等，现在我的直觉也告诉我它们相等。我的脑子里再也无法保持不同数量的概念了，它们对我来说全都是相同的。”
“你不是这个意思吧。”他说，“事实上谁也不可能经历这种事情。”
“你怎么知道我能够经历什么呢？”
“我在尽力去理解。”
“别操那份心了。”
卡尔失去了耐心。“那好吧。”说着他走出屋子，取消了预订。
从那之后，夫妻俩彼此寡言少语，只有必要时才说话。三天后，卡尔忘记带他需要用的一盒幻灯片，便驱车回家取，回到家里发现桌子上有一张妻子的留言条。
在接下来的时刻里，卡尔产生了两个直觉。他飞奔穿过房子，边跑边纳闷她是否从化学系搞到了氰化物。就在这时，他产生了第一个直觉：他意识到因为不明白什么原因导致她做出这种事，所以对她没有什么同情之类的感受，没有任何感受。
当他一边猛敲卧室门，一边向屋里的她吼叫的时候，他产生了第二个自觉：感受到一种记忆错觉。这种情形似曾相识，却又逆反得荒谬。他记得自己曾经待在一座建筑物房顶一道锁着的门内，听见一位朋友在外面一边猛力敲门，一边向他吼叫别寻短见。此刻他站在卧室门外，听见她羞愧地瘫倒在地板上哭泣，与他当年待在门里面时的情形毫无二致。
８
希尔伯特曾经说过：“如果连数学思维都有缺陷，我们还能在哪里找到真理与正确呢？”
８ａ
雷内暗自纳闷：她自杀未遂会给自己的一生蒙上阴影吗？她的目光对准躺在书桌上的论文的角落。从此以后，人们也许会无意识地把她视为行为反复无常吗？她从来没有问过卡尔他是否也有过这种焦虑感，也许是因为不愿对他提起他当年自杀的事。那是发生在多年以前的事了，如今，任何见到他的人都会立刻知道他是一个健全的人。
然而，雷内却不能说自己是个健全的人。眼下，她不能理性地讨沦数学，而且不敢肯定将来她是否能够恢复理智。现在，如果她的同事见到她，会不会说她丧失了数学才华？
雷内做完案头的工作，离开书房，走进起居室。她的形式体系传遍数学界后，将彻底动摇根深蒂固的数学基础，但是只有少数人会受到她这样的影响。大多数人会像法布里希一样，机械地理解她的证明，被它折服，但仅此而已。会几乎同她一样感受深切的人只是那些能够真正领会其中的矛盾，能够凭直觉感知这种矛盾的人。卡拉汉就是其中的一位。她心想，随着时间的推移，不知他会如何对付这个矛盾。
雷内用手指在铺满茶几的灰尘上画了一条曲线。如果是在以前，她可能会确定曲线的参数，检查曲线的一些特点。而现在这一切似乎都毫无意义了。她的想像力简直崩溃了。
她同许多人一样，以前一直都以为数学并不从宇宙那里获得意义，而是赋予宇宙以意义，物理实体彼此无所谓大或者小，无所谓相同或者不相同，它们纯粹是存在，数学是完全独立的，但它实际上赋予物理语义，提供范畴和关系。它并不描述任何内在的品质，仅仅提供一种可能的阐释。
然而，这一切都不复存在了。数学一旦从物理实体分离出来，就不一致了，而一种形式理论如果不一致，则就毫无意义。算术是经验主义的，仅此而已，引不起她的任何兴趣。
那么，现在她改行干什么呢？她知道曾经有个人放弃学术研究去卖手工皮革制品。她需要一段时间重新找回自我。而这正是卡尔一直努力帮助她做的。
８ｂ
卡尔的朋友中有两个女人，叫做马琳和安娜，她们俩是知心朋友。几年前，马琳曾经想自杀，她并没有寻求安娜的救助，而是求助于卡尔。有几次，他和马琳坐在一块，通宵达旦，或若促膝谈心，或者默默相视。卡尔知道安娜一直对他和马琳之间的心灵相通有一点儿嫉妒。他究竟又有什么奥妙，能走进马琳的心灵，对此安娜一直感到纳闷。其实答案很简单。这就是同情对方与感应对方心灵之间的差异。
卡尔一生不止一次在类似的情况下给予他人安慰。不用说，他为自己能够帮助他人感到高兴，但还不止这个。他觉得替别人设身处地，把自己当作另一个人，这种感觉很好。
迄今为止，他一直有理由认为富有同情心是他性格的底色。他珍视这一点，觉得自己如果不能感应他人就一无是处。可是，现在他却遭遇到他前所未遇的事情，在这件事面前，他平时的本能不起任何作用了。
如果有人在雷内的生日那天告诉他，两个月后他就会有这种感觉，那么他只会一笑置之。当然，这种事情会在几年后发生，卡尔知道时间的力量。可是两个月？
结婚六年后，卡尔对雷内的爱淡漠了。他憎恶自己有这个想法，但事实是她变了，现在他既不理解她，也不知道如何设身处地替她着想。由于雷内的精神生活和情感生活交织在一块，密不可分，因而她的情感生活令他不可捉摸。
随之而起的是自我宽恕的条件反射。他这样想：你不可能要求别人在任何危机中