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分形必然意味着递归，但递归不一定产生分形！分形是递归的充分条件，递归是分形的必要条件。意味着分形和递归两者不对称。那么产生分形和不产生分形的递归，存在什么差异？
在自然界，任何变动，都可以从多个角度来观察。从能量的角度，系统任何变动都可以分类为获得能量、能量不变、失去能量中的一类。失去能量过程，能量最低为0，无法为负。因此这类过程不可能产生遍历状况，因为能量比初始大的情况永远无法出现。获得能量过程，如果能量持续增加，最后到无限大。但能量低于初始值的情况无法出现。因此如果递归过程出现遍历，就必须：1。能量放大。2。能量不是单调放大，中间出现反复（震荡），进入低能量状态。能量不变，则能量任意转换。由能量转换的不对称性，最终能量变为无价值的热，无法实现能量遍历。能量无限大，这个无法在我们的宇宙出现。因此换视角，以状态的视角来观察递归过程。状态变动存在范围，那么观察状态是否遍历整个范围。状态变动，如果存在不动点，无论是单调接近还是震荡接近，都意味着无法遍历。如果中间结果的变动范围：1。始终不存在收缩，2。并且无规律可寻，那么意味着遍历（变动范围一直在增加，可能出现吗？）！我们把遍历状态的过程称为混沌过程。
在一个区间内出现遍历，和无限制的遍历，是等效的吗？遍历意味着标度对称，那么有限区间可以放大到无限，因此遍历等效。因此观察递归是否产生分形，则观察递归是否存在上述的两个特性。
递归出现分形与否，有时候仅仅只是某个数值的微不足道的差异。对于这种差之毫厘，谬以千里的情况，我们称之为不稳定状态。而毫厘产生千里的效果，称为蝴蝶效应。迭代过程表达式ax（1…x），当初始x在＇0；1＇之间时，反复进行迭代，a信息完全的过程…>；信息消失。分解这个过程为两部分：1。信息完全…>；信息完全的过程…>；信息完全。2。微小的未知信息…>；信息完全的过程…>；（数量未知）未知信息。综合两部分，可以推理出，虽然未知信息的数量未知，但肯定和原始信息的数量相当，导致综合结果对应的信息消失！那么递归过程必然实现了将微小的误差放大到足以扰乱正常信息的程度。递归过程放大误差信息。本质是误差的数值逐渐变大。而递归结果存在范围，则意味着原始的数值无法增加，原始信息量和误差信息量相比，逐渐降低。
2。若将精确初始值当作误差来看待，则递归过程必将中间结果放置到允许范围的任意位置，假设存在某些无法抵达的位置，则意味着误差信息是有规律可循的！因此产生混沌的递归必然蕴含着遍历。
3。计算机的精度截断，意味着未知信息的丢失。事实上，在误差放大过程中，不断依赖从前是更微小的数值补充未知信息。截断意味着补充丧失。在递归计算时，出现重复情况。比如递归进行2000次，发现结果和初始值完全相同！那么这个递归就存在周期为2000的周期性。当精度提高，发现周期性延长。若不存在精度截断，则不存在周期性。
4。计算机不可能模拟真实的天气变化轨迹，但却可以尝试让真实天气轨迹为阴影轨迹。进行气候模拟时，初始的气象观测值非常多，都存在误差。多次计算机模拟力争找到阴影轨迹为真实轨迹的情况。事实上在解释计算结果为真实天气状况时，大量轨迹对应的却是数量相对很少的气象状况。最终给出了各种气象状况的可能性。
5。现实生活中观察周期性的变动。轻轻打开水龙头，缓慢生成水滴，最后滴落。统计一分钟下落的水滴个数。然后轻微拧大水龙头，增加出水量。继续统计一分钟水滴个数。会发现，水滴个数不变，仅仅是大水滴、小水滴、大水滴、小水滴这样的方式滴落。当出水量大到一定程度，水滴个数突然变成原来的两倍！在原来滴落两滴的时间内，四滴水滴落。继续拧大水龙头，观察水滴个数，发现增加的规模都是两倍。以原始两个水滴之间的时间间隔为单位，统计此时间段内水滴的个数，则水滴个数就是2、4、8、16…这样的序列。没有其他情况出现！当水滴个数增加到一定程度后，水滴序列不再有规律，水滴似乎随机下落，混沌出现！继续放大出水量，水滴之间无分割时间，变成小水流。（注意水龙头下面用容器接水，避免浪费。此时不能用称重的方法来统计水滴个数，因为大小不同。）
梅乐芝经理的科普文章（十四）（）
第14节从无序到有序
前面曾介绍熵，就是混乱程度的度量。而混乱程度就是无序程度。如何体会混乱？在一个系统中，以什么标准来表达混乱程度的增加或减小？以4硬币的系统为例，全部是正面或反面朝上，则系统仅有2种状态。如果是2个正面2个反面，则有12种状态。以状态的数量为混乱的程度指标，那么硬币系统全部同面向上的状态数量最少，无序程度最低，有序程度最高。2正2反的无序程度最高，有序程度最低。冰中的水分子固定某个位置震荡，而水的分子可以自由移动，同质量水就比冰的熵高。由热力学第二定律，封闭系统（物质和能量守恒）的熵总是增加的。也就是混乱是系统趋势。但在自然界，可以发现大量由无序变有序（无序程度由高变低）的情况出现。秋高气爽，天气中经常出现云街现象。前面曾介绍对称的破缺，产生bénad对流。细胞的繁殖过程中，把混乱的材料分子，加工成极端有序的排列，双螺旋dna。这些现象的出现，似乎违反了熵增原理。
这些有序现象（称为自组织现象）的产生条件，和热力学第二定律的前提条件不同。在自组织现象中，物质和能量都在变动，不满足熵增的基础要求。一个系统，和外部环境进行物质及能量的交换（熵也同时发生变化），当系统可维持平衡时的结构称为耗散结构。依赖环境的能量补给以及将熵释放到环境中，此时系统的熵不变或者减小。这个理论体系是由比利时人普里高津建立。从全局来看，热力学第二定律依然成立，熵减小仅在局部发生。
地球诞生时，遍地岩浆，火山和陨石撞击时常发生。随着时间流逝，表层逐渐冷却。那时是荒芜的世界。化石记载，自38亿年前，出现原始的生命形式（同时期地球产生磁场），地球的表面地貌和大气完全由生命改变。地球生命的出现和发展历史，就是由无序变为有序最强烈形式。我们的出现就是终极逆天改命！
思考：
1。bénad对流出现时，分子状态总数因对流的出现而大幅度减小，系统的熵因此变低。系统的对称性突然破缺，对流的平移中心线和旋转对称轴由以前的无数个降为几个。但（！）系统的信息量急剧增加。熵、对称、信息是相互关联的，熵是系统各部分能出现的状态数量总和，对称是系统的对某种操作的不变性，信息是系统各种状态存在的可能性大小的度量，体现不同角度对系统描述的结果。混乱程度愈大，各部分愈相似，则1。不变性愈大。2。差异愈小=信息量愈小。
2。生命的起源有多种解释。浅海、泥沼、冰湖、深海、粘土、火星（或彗星）都是可能的起源地。由于无法复制当时的情况，所有的理论都是假说，区别在于可行性大小。但可行性大小与当时的情况没有关联，因为不能重复进行多次生命起源实验来验证可行性。但也可以争论生命是多次起源的。总之，生命是出现了。从无甚关联的一些分子团，到细胞结构的出现、na、dna，分子的组织程度突飞猛进，由无序进入到极端有序，dna记录了生物一生所有可能的生化反应（仔细观察白炽灯泡的钨丝，和dna有类似结构）。在地球上看来，是发生熵极端减小事件，太阳辐射为此事件提供能量。从太阳看来，毫末之处的浪花翻转，丝毫不影响本系统的运转，再过50亿年，再极端的事件也湮灭在太阳的末日中。唯一的期待就是涅磐。因为组成我们身体的材料都是更早恒星的遗物。
3。具备现代意义上的城市早在公元前2000年出现在印度河下游。但是工业革命以后，才大规模出现在这个世界。乡村，类似大的分子团，在广泛的区域内存在，相应的对称性和熵都比较高。城市则更像细胞，组织齐全，具备各种功能。世界的城市化过程，就是世界的熵减过程。
4。人类的祖先来自东非，这个已成为共识。在人类先祖进入到旧石器时代后，持续了百万年，也没有什么进展。和黑猩猩、海獭一个层次，熵值非常高。新石器时代是重大突破，人类很轻易地征服了整个陆地世界，适应了各地环境，产生不同的生存方式，熵值陡然降低。1万年前，当人类摆脱狩猎，进入农业时代，社会的组织（因农业生产需求）及宗教的发展，使得文明得以诞生，产生更高层次的人类群体形式，熵值变得更低。目前科技的进步，带来的变化太快，以信息量的方式来计算，就是信息爆炸。就在这个时代，却存在着信息的大量流失，就是多元化的消亡，大量弱势文化、语言、思维方式在席卷全球的浪潮中无法立足，成为古董或书本文化，仅仅出现在数据统计中。但是这种信息的损失在更强势的信息爆炸面前如同大海中的浪花。
5。文明的发展，就是熵减的过程。以此角度出发，公元前六世纪到五世纪，是人类文明的一个爆发时期，可以和生命历史上的寒武纪大爆发类比。熵的变化太剧烈，真是神奇的时代。希腊