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可是在形式推理的情况下，系统的这些类型就不够了。皮亚杰指出，当用具体物体来说明归类问题时，儿童可以懂。例如一些跟物体大小有关的、儿童在七岁时就可以在具体形式下解决的问题，当用言语叙述这问题时，要到十二岁时才能解决。皮亚杰指出，哲学家们由于忽视了早期的较具体的逻辑思惟水平，结果就倾向于将命题思惟水平看作是在形成它自己的一个先验王国。
皮亚杰介绍了群集的概念：群集是一个分类的或关系的系统，可用来说明儿童的最初逻辑行为和数学行为，例如他将一些物体进行分类、关联和点数。这种群集所遵循的规则和数学的群的规则有些类似，也相当于行为的心理协调的最初形式。
群集的例子乃是简单分类系统、矩阵（按两个标准的分类系统）与基于关系和系谱的序列。皮亚杰相信这样的系统可以从儿童所进行的群的活动中直接看到（也可以从成人思惟中所显示的较复杂的结构中看到），甚至在主体可能还未意识到他自己的行为所表现出来的系统性特征时就可以看到。皮亚杰用命题逻辑来说明青年期的较复杂结构，他对那些包括在分类、排列顺序、点数和在时空范围内的放置和移置客体等具体运演，都称之为一级运演，而对表示命题或命题组合的言语的和形式的逻辑－数学运演，则称之为二级运演。
正如我们所了解的，皮亚杰认为儿童的逻辑的和数学的运演是来源于他对物体所做的简单活动；例如把物体进行组合或对应放置之类的活动。皮亚杰把这些活动区分为两个方面。
1。对物体本身直接进行的活动：诸如称重量、移置、转动东西等特定活动，这些活动的性质依赖于有关物体的物理特点，例如体积、重量和粘性。儿童可以通过实际称重量运演的结果而发现一个铅球和一个铁块同样重。
2。这些活动也显示出某些一般的相互协调——这些情况是在把物体联合、分开或对应放置的时候出现的。作为一个例子来想想一个儿童数十个弹子并发现它们总是十个的情况。在这个情况下，他实质上不是用弹子做试验，而是用他自己的活动，即排列顺序、点数、随意改变排列顺序来做试验，他看到不管他采取什么样的组合活动，不管他是从左数到右还是从右数到左，总是得到同样的结果。
对儿童来说这两方面的活动最初还是未分化的。但约到七、八岁时，他的行为协调的一般活动就转化为心理运演；一种演绎性质的限定的逻辑系统、数学系统和空间系统自身分化了。儿童不再需要做试验来了解十个物体不论它们的顺序如何排列都是十个；现在他能用逻辑方法来说明这一点了。在再晚一些的阶段，他就有可能处理一些数的概括、一些没有具体事例的代数式，最后就掌握了形式的假设－演绎系统。
说得更明确一些，皮亚杰是象下面所叙述的那样来看儿童思惟中逻辑与数的关系的。试想有ABC这么一套东西。儿童可以按照它们性质上的相似点，如颜色、大小和形状来把它们分类。为了使这些分类关系转换成为数的关系，儿童必须从这些性质中进行抽象，这样，任何两个东西同时可以看作是相同的又是不相同的，也就是说，处于系列关系之中。这样，他就得出一个单位的概念。这个单位是一个类中的一个元素（1包含于2中，2包含于3中，等等），同时也是一个系列中的一个元素。皮亚杰发现，一个数系列的概念，恰恰是在关系和类的逻辑出现的那个智力水平上形成的。因此，在儿童身上逻辑与数的出现既不是这一个从另一个中引伸出来的，也不是相互无关的，实质上是相辅相成的。在儿童思惟中建构数的方式，与逻辑学家用逻辑术语来给数下定义的尝试之间，既有不同之处，也有相似之处。
虽然皮亚杰关于逻辑和数学运演性质的叙述有其心理学的一面，但他与十九世纪一些人，如米尔把数学和逻辑放在经验基础上的尝试有所不同。皮亚杰清楚地认识到以下两个方面的区别：一方面是在儿童与成人思惟中产生的逻辑概念和数学概念，另一方面是逻辑与数学的形式化系统（它与心理学所考虑的内容无关，仅服从系统的规则）。
然而，皮亚杰的发生学的说明，多半会被某些哲学家当作与认识论研究无关而予以摒弃。他们可以辩论说，我们是发现逻辑－数学关系而不是要去建构它们。后一种观点的结果之一是逻辑与数学被迫跟一个由超时间的共相构成的静止世界对应，人们对于超时间的共相是通过纯粹直觉（或概念）而不是通过感知来认识的。直觉材料的自明性于是就和感知－经验的偶然性截然对立。但是我们体验这种直觉材料的途径也没有什么特殊之处；皮亚杰坚决主张，这是一个心理学问题，而不是一个规范的问题。
皮亚杰对卡尔纳普的语言逻辑句法中所包含的唯名论也抱批评的态度，唯名论假定逻辑是独立于我们之外的一种语言结构所固有的。皮亚杰反对这个观点，他会论证说：（1）语言根本上是一种行为活动；（2）言语交往只是社会交往的一种特殊情况；（3）我们日常思惟中的逻辑根源于我们的行为活动。
皮亚杰一定会希望把发生学的问题与有效性问题区分开来，就是说，把事实与规范区分开来。他会同意逻辑作为演绎推理的一种形式化的理论主要是与规范有关，只要我们停留在逻辑系统本身范围之内，我们就可以不管逻辑以外的问题。但在一个较广阔的认识论范畴中，这种问题就有些关系了。特别是有关主体如何会采用这类系统这种实用主义的问题就更是如此。
皮亚杰认为在日常思惟中所用的规范和我们用来检验形式系统的有效性的逻辑标准之间是有某些连续性的。同样，我们对数或空间的形式化，也是和前科学思惟所建构起来的数或空间有关的。但这并不意味着前者可以简单地归结为后者——这里的“归结”是在严格的逻辑意义上说的。皮亚杰在它们之间所建立的关系勿宁说是一种历史的或发生学的关系，这并不要他对一个是另一个的逻辑建构物的观点表态。
必须提一下关于皮亚杰所用的一些概念，诸如“调节”、“同化”和“平衡”。所谓调节是指客体作用于主体因而主体使他的行为与客体适应（或配合）的那种方式。同化是指主体将他的感知－运动的或概念的格局应用于这些客体的过程。为了说明这个概念，皮亚杰指出：当一个自然主义者对动物进行分类时，他把他的知觉同化于一个先前的概念系统；当一个人或一个动物知觉一个客体时，他认为这个客体是属于某个概念上的或实际上的范畴，这个范畴给予所认识客体以意义。这样，主体就有可能应用以前的经验来对待新的情境。当一个躺在小床中的婴儿看到一个他拿不到的玩具时，他会把放玩具的那个被单拉向自己。他这样就把现在这个情境同化于他以前的一些感知情境，以前他是通过一个中介物得到远处的物体的。
在皮亚杰看来，平衡概念包括（1）一种较低水平的适应：这是以身体不平衡的形式表现出来的儿童的需要，通过试误性的探索活动以得到满足的方式；（2）较高级水平的适应：例如，我们具体的分类活动发展成抽象命题活动，以致儿童能完成可逆性之类的运演的方式。因为对皮亚杰来说，概念性知识并不是先验地存在于儿童的心灵中，而是通过发生学的发展而产生的。皮亚杰试图说明相对静止的逻辑关系是怎样从试误摸索中发展起来的。于是给平衡概念以较广的应用范围，把它用于整个心理活动的范围，也用于较高水平的推理运演。
皮亚杰完全知道，社会和情感因素在儿童逻辑活动的发展中是起作用的。他还给这些因素增加了：（1）儿童智力能量的成熟和（2）儿童所必须经过的某些具体阶段的存在。举例来说，儿童在掌握分类和排列顺序之类的逻辑运演之前是不能领会数的性质的。此外，逻辑的命题水平在具体分类阶段之前是没有的。
皮亚杰同意，这些水平能被有利的或不利的社会环境所促进或延迟，也能被具有感情或意志性质的内部活动来促进或延迟。可是，有某种严重心理缺陷的儿童仍学不会命题运演，甚至不能获得物质、重量和体积的概念，因为他们未能先形成作为后来思惟的命题阶段所必需的基础的具体分类概念。
最后我应该提一提哲学家们最初看到皮亚杰的研究结果时所常常提出的反对意见。几年前我给亚里士多德学会的一篇论文里①试图说明皮亚杰的某些工作和哲学的联系。几乎所有参加讨论的人都反对说，在皮亚杰的实验中对儿童所提的问题是不公平的，或是引起误解的，这些问题对于儿童大都是不能理解的，因而引起了荒谬的回答②。
①W。梅斯：《皮亚杰教授的认识论》，亚里士多德学会会议录1953—4，49—76页。
②N。艾萨克：《皮亚杰研究的广泛意义》，载《皮亚杰研究的某些方面》，国家弗罗伊布尔基金会出版，第二版，1957年，36—37页。
出席会议的艾萨克在这个小小的争吵做了如下的评论：
这个问题的答案是：就是这些同样的问题，儿童在稍晚一些时候，虽然在稍微难一点的情景下，还不能掌握，但在容易的情景下，很快就掌握了。在更晚一些时候，儿童对这些问题的理解，并不比我们成人更难……换句话说，年龄较小的儿童虽然确实是不懂这些问题，但关键却是他做不到这一点。儿童在那个阶段，还缺乏为理解所需要有的稳定的和组织起来的概念。
因此，儿童不懂得向他提出的问题，不仅是由于他不能懂得用来表达问题的语言，而且表明有一种更深的不足，那就是缺乏使他们能够掌握这类问题的意义的有关概念。在另一�