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对象也只能形成某种不知的标准的模糊概念。要是根据无限可分说，我们甚至走不到这么远的地步，而只好归到一般的现象，以它为决定一些线条是曲线或是直线的准则。但是，对于这些线条，我们虽然不能给予任何完善的定义，也不能举出任何十分精确的方法来把一条线和另一条线加以区别；但这并不妨碍我们作更精确的考究，并以我们经过屡次试验认为它的正确性比较可靠的一个准则来作比较，借以校正最初的现象。就是由于这些校正，并由于心灵在已经没有理性作为根据时仍然要继续同样的活动，所以我们就形成对于这些形的一个完善标准的模糊观念，虽然我们并不能加以说明或加以理解。
的确当数学家们说“直线是两点之间最短的路线”时，他们自以为是下了一个精确的直线定义。但是，首先我要说，这更恰当地是直线的特性之一的发现，而不是它的正确定义。因为我问任何人，在一提到直线时，他岂不是立刻会想到那样一个的特殊现象，而只是偶然才会想到这种特性吗，一条直线可以单独地被理解，可是我们如果不把这条直线和我们想像为较长的其他线条加以比较，这个定义便不可理解。通常生活中有一个确立的原理，即最直的路线总是最短的路綫；这就和说最短的路线总是最短的路线一样荒谬，如果我们的直线观念与两点之间最短路线的观念并无差别的话。
第二，我再重复一次我已经确立的说法，即我们不但没有精确的直线或曲线的观念，同样也没有精确的相等或不相等、较短和较长的观念；因此，后者绝不能给予我们对于前者的一个完善的标准。一个精确的观念永远不能建立于那样模糊而不确定的观念之上。
平面的观念也和直线的观念一样，不能有一个精确的标准，除了平面的一般现象以外，我们也没有任何其他判别这样一个平面的方法。数学家们把平面说成是由一条直线的移动而产生出来的，这是无效的。我们可以立刻反驳说：我们的平面观念之不依赖于这种形成平面的方法，正如我们的椭圆形观念之不依赖于锥形的观念一样；我们的直线观念也并不比平面观念更为精确；一条直线可能不规则地移动，因此而形成一个与平面十分不同的形；因此，我们必须假设这条直线要沿着两条互相平行的并在同一平面上的直线移动；这就成了以事物的本身来说明这个事物、循环论证的一个说法。
由此看来，几何学中一些最根本的观念，即相等和不相等、直线和平面那些观念，根据我们想像它们的通常方法，远不是精确而确定的。不但在情况有些疑间时，我们不能说出，什么时候那样一些特殊的形是相等的，什么时候那样一条线是一条直线，那样一个面是一个平面；而且我们同样也不能对于那个比例和这些形形成任何稳定而不变的观念。我们仍然只能乞求于我们根据对象的现象所形成的、并借两脚规或共同尺度加以校正的那个脆弱而易错的判断。我们如果再假设进一步的校正，这种假设的校正如果不是无用的，便是假想的。我们如果竟然采纳那种通常的说法，采取一个神的假设，以为神的全能可以使他形成一个完善的几何的形，并画出一条没有弯曲的直线：那也是徒然的。这些形的最终标准既然只是由感官和想像得来，所以如果超出了这些官能所能判断的程度之外去谈论任何完善性，那就荒谬了；因为任何事物的真正完善性在于同它的标准符合。
这些观念既然是那样模糊而不确定，我就要问任何一个数学家，他不但对于数学中一些比较复杂而晦涩的命题，就是对于一些最通俗而浅显的原理，都有一些什么无误的信据呢，例如，他如何能够向我证明，两条直线不能有一个共同的线段，他又如何能够证明，在任何两点之间不可能画出一条以上的直线呢？他如果对我说，这些意见显然是谬误的，并且和我们的清楚的观念相抵触；那么我就会回答说，我不否认，当两条直线互相倾斜而形成一个明显的角度时，要想像那两条线有一个共同的线段是谬误的。但是假设这两条线以六十英里差一英寸的倾斜度互相接近，那我就看不出有任何谬误去说、这两条线在接触时会变成一条线。因为，我请问你，当你说，我假设两条线相合而成的那条线不可能像形成那样一个极小的角度的那两条直线一样成为同样的一条直线，你这时候是依照什么准则或标准来进行判断的呢，你一定有某种直线观念，和这一条线不相一致。那么你的意思是否说，这一条线中的点的排列秩序和它们所遵循的规则，和一条直线所特有的、而且是它的根本条件的那个秩序和规则不同呢，如果是这样，那么我必须告诉你，要是依照这个方式进行判断，你就已经承认了广袤是由不可分的点组成的（这也超出了你的本意），而且除此以外，我还必须告诉你，这也不是我们形成一条直线观念时所根据的标准；即使是的话，我们的感官或想像也没有那样大的稳定性，可以确定那个秩序何时被破坏了、何时被保存了。直线的原始标准实际上只是某种一般的现象；显然。我们可以使直线之间有相合的部分而仍然符合于这个标准，虽然这个标准是经过了一切实际的或想像的方法加以校正。
＇数学家们不论转向哪一边，都会遇到这个困境。如果他们借一个精密而确切的标准，即计数微小的、不可分的部分，来判断相等或任何其他比例，那么他们既是采用了一个实际上无用的标准，而又实际上确立了他们所企图破坏的广袤的部分的不可分说。如果他们像通常那样，从一些对象的一般现象的比较中得到一个不精确的标准，加以应用，并通过度量和并列加以校正；那么他们的一些最初原则虽然是确定和无误的，但也是太粗略了，不足以提供出他们通常由此所推出的那些精微的推论。这些最初原则是建立在想像和感官上面的。因此，结论也不能超出这些官能，更不能和它们抵触。＇
这就可以使我们的眼界开拓一些，并使我们看到，证明广袤无限可分性的任何几何的证明，并不能有那样大的力量，如像我们很自然地认为那种以辉煌名义作为支持的每一个论证应该具有的力量一样。同时，我们也可以了解，为什么几何学的所有其他一些的推理都得到我们的充分的同意和赞同，而单是在这一点上却缺乏证据。的确，现在更需要做的，似乎是说明这个例外的理由，而不是指出我们实际上必须要作这样一个例外，并把无限可分说的一切数学论证看成完全是诡辩的。因为，任何数量观念既然都不是无限可分的，那么显然，要试图证明那个数量本身允许那样一种分割，并且借着在这方面和它直接相反的一些观念来证明这点，那便是所能想像到的最为显著的一种谬误了。这种谬误本身既是十分显著的，那么以它为基础的任何论证必然会带来一种新的谬误，并且含有一个明显的矛盾。
我还可以举出一些由接触点（Point of contact）得来的无限可分性的论证作为例子。我知道，没有一个数学家肯被人根据纸上所画的图形加以判断，他会说，这些图形只是一些粗略的
草稿，只能较为简便地传达作为我们全部推理的真正基础的某些观念。我很满意这种说法，并愿意将争论只是建立在这些观念上面。因此，我希望我们的数学家尽量精确地形成一个圆和一条直线的观念。然后我就问，在想像两者的接触时，他还是想像线和圆在一个数学点上互相接触呢，还是不得不把线和圆想像为在一段空间中相合呢，不论他选择哪个方面，他都陷于同样的困难地步。如果他肯定说，在他的想像中勾划出这些形的时候，他能够想像线与圆只在一点上接触，那他便承认了那个观念的可能性，因而也就承认了那个对象的可能性。如果他说，在他想像那些线条接触的时候，他不得不使它们相合，那他因此便承认了几何学证明在进行到超出某种微小程度的时候，便发生错误；因为他确是有反对一个圆和一条线的相合的那样证明，换句话说，也就是他能够证明一个观念、即相合的观念与一个圆和一条直线这两个另外的观念是不相容的，虽然他在同时却又承认这些观念是分不开的。
第五节
对反驳的答复（续）
我的体系的第二部分是：空间或广袤观念只是分布于某种秩序中的可见的点或可触知的点的观念；这一部分如果是正确的，那么由此便可得到这样的结论：我们不能形成一个真空的观念或是一个不包含可见的或可触知的东西的空间观念。这种说法引起了三种反驳，我将对这三种反驳一并加以考察，因为我对一个反驳的答复正是我用以对待其他反驳的答复的一个结论。
第一，有人也许会说，许多年代以来人们关于真空（vacuum）和充实（Plenum）争论不休，没有能够使这个问题得到最后的解决；即在今天，哲学家们还以为可以随着自己的想像任意站在某一方面。但是，有人就会说，关于事物的自身，人们的争论不管有什么样的基础，那种争论的本身就确定了那个观念：人们如果对于他们所反驳或拥护的真空没有任何概念，那么他们对于真空便不可能那样长期地进行推理，或是加以反驳，或是加以拥护。
第二，如果这个论证会引起争执，真空观念的实在性或至少是可能性，也可以通过下面的推理加以证明。任何观念如果是可能观念的必然的和无误的结果，这个观念也就是可能的。我们即使承认世界此刻是一个充实体，我们也可以很容易地设想它被除去了运动：这个观念当然可以被承认为可能的。我们也必须承认能够设想全能的神可以毁灭任何一部分的物质，而其余的部分仍然处于静止的状态。因为，凡能区别的每一个观念既然可以被想像分离，而凡可以被想像分离的每一个观念又可以被设想为