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以这种奇异的方式我们计算出了起先的三个正数： ， 和 。
你开始明白为什么我们选择这两个记号的原因了吧。如果我们要保持一直为正数，我们又需要用这种方法在某处得到 ，且分子分母都要是其他两个数字之和，那么留给我们的选择就只有１和０、０和１了，这样立刻就会产生 了。
现在我们仍然遵循我们的简单法则继续第三步数字的派生，从左到右计算产生这些新的数字分别为： （也就是 ）， ， 和 ，如下所示：
第四步就会在上步产生的八个间距的中间派生出新的八个数字，从左到右依次为：
， ， ， ， ， ， ，
只要你继续进行下去，从左边开始一直计算到右边，加与其相邻的分子作为新的分子，加邻接的分母作为新的分母，那么你就会在左半部分得到所有小于１的正分数，在右半部分得到所有大于１的正分数。在这个非凡的不断重复的计算中，仅仅使用了１和０就产生了每一个正有理数。为了使你信服这个结果你可以检验 应当是在我们的列表中的第十三个有理数，那么 会在什么时间出现那？
我们在计算中所揭示的数据列表是由越来越多的分数紧密填充的，以其发明者的名字命名为“费瑞序列（Farey Sequences）”。但是这里又一次的显示出——就像洛必达数学家——数学的历史并不象数学本身那么精确。约翰·费瑞（John Farey）是英国的地质学家，他在1816年发表了一篇关于这个排列次序法则的短文，可能超出其能力的原因，并没有给出证明。然而也不排除这可能是他对亨利·古德维恩（Henry Goodwyn）在1818私下传播的一本书进行了抄袭。亨利·古德维恩在那本书里已经给出了这个法则和证明。那我们从今以后应当叫它“古德维恩序列”？不是的：在此14年前就曾这个序列就出现在一个叫赫罗斯（Haros）的法国人的论文里，现在已经失传了。在沉思历史中，克莱奥（Clio）获得了具有讽刺意味的报偿，即她注意到在《国家传记辞典》里，费瑞是由于写的关于木料测定法和德贝郡（Derbyshire）山峰的高度的论文才被简要的记录下来，而没有提到是由他单独提出的以他的名字命名的序列。
无论谁是发明者，这个序列都有些令人难以置信的意味。你可能会认为极小的正分数不会出现（你可以一直都处于任意候选者与0之间的半途中），因为没有开始位置就意味着不能算出它们。再加上在任何两个数之间又有密集的分数，那么我们去推论说有大量的分数没有计算出来似乎就是合情合理的了。然而我们已经计算出的这个序列展示了这些数字连接了所有的数字，它们的确都能被计算出来： 是第一个， 是第二个， 是第三个等等，依次进入我们的列表。我们使这些数字与将要计算的数字协调搭配的方式可能是奇异的，但是它达到了目的：尽管计算出的数字看起来似乎远少于有理数的范围，但二者确实一样多。它的非凡的理性使通常的判断力失调。而正是这种令人惊奇的结果引导先驱们去数字的自由王国里研究开发，也正是这种令人惊奇的结果使所有花费在数学上的努力都变得值得。客观世界和头脑都是神秘的，但是它们的神秘是可理解的。
从0和1出发我们已经得到所有的有理数并且获得一个极好的见识。但是问题仍然遗留下来，就是我们能够仅用0得到所有的有理数吗？如果我们能够用0产生1，那么就可以用像上面一样的简单过程来完成它。这是那些修道士的梦想，在12世纪有一个修道士写了塞勒姆规则（Salem Codex），他这么写道：
每一个数字都起源于1，转过来这个1又来自0，这里面存在着一个巨大的和神圣的秘密，他从虚无的零中创造了一切，保存着它，并控制着它：omnia ex nibilo creat； conservat et gubernat。
（现在，停下来一分钟，就像吉米·斯图尔特（Jimmy Stewart）说过的。你还记得住在英格兰巴思小镇的艾德拉德先生——大概也是12世纪——有一个学生叫做N。欧克瑞特（N。 O'Creat）。但是，我们这里是在用一个精心制作的中世纪的玩笑来代替处理我们的一个意义深刻的双关语吗：男巫师虚无不存在的徒弟克瑞特（nihilo creat）变成了N。 欧克瑞特（N。 O'Creat）？纳伯科夫的精神活跃在艾德拉德所住的小镇巴思吗？）
尽快使你自己远离上面插话所展示的场景吧，回到至今更加吸引人的验证1来源于0的前景中。因为用少许的计巧，不需要上帝仅我们人类就能做到它。
第四部分 有蜘蛛的浴室第36节 李尔王是正确的吗？（2）
需要少许简单的预备知识。第一，如果你将数字n乘以某个数后期望其结果仍为n，那么这个数应该是众所周知的乘法单位1。第二，一个集合（称为S）仅仅是物的积聚，将其划分为两个子集，称为A和B。所以无论最初在S集合里是什么，最终都将以A或者B结束。最后，空集中无任何事物，它是任意集合的子集。（如果盒子里有十个弹球，放入一个隔离物以便于将所有弹球分割于其右边，那么你已经划分出了这个盒子的两个子集：左首的是空集，右首包括所有弹球）。现在我们可以开始了。
盒子中没有分开的筹码盒子中被分开的筹码
去拿来一堆吉尔伯特的筹码，在它们每个上面写有一个数字，把它们放入一个盒子，当你取出它们任何一个时将其上面的数字与已经取出的所有筹码上面的数字相乘，这么做下去，你就会将所有数字相乘，得到的结果称为r。现在将一个隔离物放入盒中，将所有筹码洒落下来，其中一些会落在左边（A）的隔区内，另一些落在右边（B）的隔区内。从A中取出所有筹码将其连乘，得到的结果称为p。同样对B部分进行操作，得到的结果称为q。显而易见p·q=r，因为等式两边做了同样的乘法运算，不论任何一边有多少筹码仅仅是把它分为两个部分，即是它们都落在B中，A为空，仍就应该p·q=r。但是现在B已经有了所有筹码，q=r；那么意味着（按照上段最初的论据）p=1：即元素全为0的集合其结果为1。
你会认为这太牵强了吧？我们仅把它作为一个深切表明了数学原则的递推抽象的例子。它超出原有意义的范围，扩充了乘法概念。数学领域的荣誉与绝望一带相连，它要求你的思想要充满活力就像去参加一个五英里的登高运动一样。据说杰出的数学家约翰·冯·诺尔曼（John Von Neumann）说过，在数学领域里，你不必去理解一些事情而要习惯于去接受它们。但是当每一个事物回退到无法证明的原理的尽头时，在这一领域内大部分的研究人员会认为他们的论据是适当的，他们所要证明的似乎是转移到了对人们直觉的估量上来了。数学不但精彩而且简单，所以让我们尝试用简单的方式从0获得所有事物。那我们就再回头到空集的观念上来。
它是一个观念，还是它根本就不存在？我们可以把集合当作以‘xwyz’开始的代码集合，来说明它。就我已经请教过的朋友和参考书所知，没有这样的说法：集合是空的。集合中所有的数字都是不寻常的，其排列像英雄史诗式两行诗一样有规律。只要你留心注意，似乎很容易发现空集。但是这些不期而遇者（如果称为不期而遇，那就像你昨天在楼梯上遇到的并不是那里的人一样）并不能很好保证在数学上的存在性。存在性仅能从公理上推导演绎。既然这样就应该从集合论的公理本身出发。对你来说似乎没有必要那么严格，但是如果你想让数学通往独立并极成功的新领域，那么其中的创造性物质还必须从数学中推导出来，而不会来自其他的任何地方（比如经验）。而事实上，早在二十世纪早期已经形成为著名数学学科（有些人称为根源）的集合论的七公理之一就是假定了空集的存在。
如果一些事情使你费功夫的话，例如空集，那么就直接引入一个纯粹的声明来说明其存在（公理就是发布的所有人都信服的基本原理）。那么就要注意到那些数学规则和你声明的东西要相互协调。数学令人着迷的特性之一就是这些创造物与原理结合起来去控制它们的行为（在执行过程中它去让执行者知道0是形容词，名词还是动词又变得很困难）。从概念上说与这些原理应该有不多不少的事实。但是随着过程的进行，这个领域逐渐就展开了。从实践的优点看，它们采取的是事先预定的前提而不是结论。
那也就是说一直以来我们必须承认空集是一个特例。提出集合论原理的第一人厄恩斯特·泽尔麦罗（Ernst Zermelo）在1908这样来表达他的第二个公理：假定存在一个不包含任何元素的集合，空集0。为什么要假定呢？假定的空集是怎样存在的呢？我想我们在这里所看的和我们在第七章承认那些从远方被召来到北爱尔兰的居民身份的遭遇一样。也许在第七代以后这样的家庭会被当作本地人吧。
如果你仍对生活中是否和为什么存在空集感到不满的话，那么以安塞姆（Anselm）对上帝存在的论证方式进行一下讨论你可能会满意些。它是由一个名叫韦斯利·塞尔曼（Wesley Salmon）的哲学家提出来的。他写到：“愚人会在心里认为不存在空集，如果那是真的话，那么所有的集合都为空集，故空集存在。”
无论如何人们已经认定了空集存在或者已经找到了它。其中对它的一种表示方法就是用一个成对的大括号，并且其中无任何字符：｛｝。另外一种表示方法Ø；，它展示了我们在一千多年里研究达到了什么程度，因为旧时也分别引用过φ，θ来表示0。不论符号表示的变化是否恰�