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币，15维留希芬相当于10雷根斯堡（Regensburg）币，8雷根斯堡币相当于18纽马克特（Neumarkt）币，5纽马克特币相当于4纽伦堡便士。”30纽伦堡便士能兑换多少维也纳便士呢？
你可能知道结果是 （大约是13维也纳便士，剩余部分建议留作小费）。
一些教师可能没有见过这样的题。Prosdocimo de’ Beldomandi，写于大约1400年，说他在很多不同的书中发现很多不同的技巧，但是在所有这些技巧中，如果你最初算错了就必须全部重来；并且你能在哪里储存半途的结果，如何消除它们？这对他来说都太费力，太苛刻，因此他抛弃了它，在他的书中仅仅保留了对计算完全必要的一点点。
这些技术上的困难，还有把书籍用本国语书写之前，知识传播缓慢，危险的撒拉逊人的魔术增加了阿拉伯数字已经拥有的信誉。甚至当它们开始在硬币和纪念碑上出现来表示日期时，银行仍然不愿意使用它们，并且有很好的理由：零又是一个坏蛋，因为它可以被无耻的人改写称6或9，这些人还可以在它之前插入一个或两个数字。因此在佛罗伦萨市（Florence）参议会在1299年通过一项法令中宣布，当在账本上遇到钱的数量时用数字书写是不合法的：金额必须用字母书写。一本古老的威尼斯课本解释说“老数字（例如：罗马数字）单独被使用是因为它们不象新计算方法中的数字那样容易被伪造”。在帕多瓦（Padua，意大利一城市）大学文具店被要求标明书的价格“non per cifras sed par literas claros”：用清晰的字母而不是用数字。1494年，法兰克福（Frankfurt）市长命令他高明的计算师“禁止用阿拉伯数字计算”。即使是后来到1594年，在安特卫普（Antwerp）的一个教规中警告商人不要在合同或协议中使用阿拉伯数字。我们嘲笑那些不会计算的人——但是在十三世纪他们嘲笑那些会计算的人，因为它们的无用，使“阿拉伯数字”和“阿拉伯数字系统中的零”处于被嘲弄的境地：
一只带角的野兽，一只棉羊，
一个阿拉伯数字的零，
是不是牧师，在这个节日
不祝贺那圣洁的妈妈。
第三部分 费尽周折第20节 费尽周折（3）
今年，明年，有时，决不
正当零努力向西方前进时，这群蛮横的方形脑袋的猜疑将它挤到一边。一个狡猾并且更有力量的关系网很久以前就联合起来对付它，因为随着岁月的累积，知道世界什么时候结束变得更加重要。
因为在公元前一年和公元后一年之间没有零年，所以罗马风格的计算弄混了这个问题；因此千禧年的信徒不得不——象现在一样——费力的计算结束于零的年是世纪和千年的最后一年，而不是下一个千年的第一年（因此对我们来说，2001年1月1日是三千年的开始，而且这年以前的欢庆仅仅是庆祝个别节日的习俗）。尽管经历了无数的日历改革，直到1740年，当掌握巴黎天文台的第二位第四代意大利天文学家雅克·卡西尼（Jacques Cassini）出版了他校正的《天文学表格》（Tables astronomiques）时候（他也一定有把零作为坚定的动者的感觉：就象他的儿子和孙子，他出生在天文台上，在此地，他的整个家庭经历了一个多世纪来探索宇宙和观赏法国美丽的旷野），零年才踌躇地露面。
想知道世界末日什么时候到来：你需要注明相对开始的日期，并理解规定的时间跨度的范围。这就是为什么这种注释和计算的成就建立了基督教年代表，它的目的是——就象研究千年事物的精明学者理查德·兰德斯（Richard Landes）观察到的——“已经注明的是末日而不是开始”。我们已经看到了这些计算，他们的每次精确计算世界末日，都是以一次次失败告终：杜科波尔派（Dukhobors）教徒在循环再判决日的前夜焚烧了自己的房子和世间所有的货物；人们和他们的预言家黎明时在山上的牧场站立，黄昏时又失望地跋涉回家。黑尔·波普（Hale…Bopp）来了——又走了。
然而这些决定性的失望留下了不可计算的价值残余：一种改变了的时间感觉和对历史的清醒目光。
Dies irae； dies illa
Solvet saeclum in favilla —
愤怒的一天，在那天
我们要把数年的财产一起焚烧成灰烬——
如果零日安全过去，那么前时和后时就有新的意义：从零开始延伸为负数和正数，现在不再是时间的终点而是计算的支点。过去的事情要求我们更进一步的研究将来将要发生的事情，兰德斯说，这些破灭的世界末日的诺言导致了寻求“用更长的时间重建一个有希望的未来”：世界末日离我们越远，就越能给我们希望。当然，它不能太遥远而使人气馁，也不能太近而使人失望，但是应该位于适度的时间范围内，至少一代但不超过三或四代。
时间的真实终点：如圣·约翰（St John）预言的那天，在那一天，你将听到一个微弱的声音在说：“一量器的小麦值一便士，三量器的大麦值一便士，”而且天堂就会卷成一个封闭的卷轴，星星将象未熟的无花果坠落下来，四个骑士将在陆地上放纵。实际的这一天是在公元1000年，或者在1260年，1533年或1843年：相信在这一天，在我们中间和周围的魔鬼般的人会焚烧并劫掠财物，因为这里将没有明天。但是清醒的头脑知道，如果明天不是世界末日，明天能够继续到来，那么付出的代价将是巨大的。
不但要避免社会结构的破裂而且要改变人们所认知的世界可能前进的方向，从事物到本质的思想，从前教堂里权威的发言，现在已经变成大声的反对启示录（圣经中的包含预言或象征景象，尤指世界末日迫近和正义者救世的内容——译者注）中的预言。早在马太福音（Matthew，马太耶稣十二门徒之一，传说为新约圣经的第一篇福音书的作者——译者注）和马可福音（Mark，传播福音者）中，我们就被告知天使也不知道世界末日这一天。圣·奥古斯丁（St Augustine）和在他以后的作家们的整个传统（包括比德副主教）就是通过各种各样的方法去除世界末日。从不同的数据，用各种各样不同的计算系统来计算；计算中发现的错误把这个瞬间带得很近。最聪明的是，集迷人的修道士、伪造者和历史学家为一身的安德马（Ademar），故意允许年代表在关键时期变得含糊：安德马在他抄写的年鉴中用诸如“在那些天”和“过一会”的表达来代替精确的日期。
这些惯例——世界末日的先知们在口头上强大一些，他们的对手在文章上占上风——交锋的结果是给日历原本模糊的自然状态上又增添了一团迷雾，在起始点和终点，零不见了，被转移了或者是模糊了它的概念，变成了一些秘密。当它再次出现的时候，几乎没有人再想知道这个答案。
你非常想聆听关于玛雅人的故事——然而两者之间有很大的不同。就象你看到的，马雅人害怕时间是直线的并可能有尽头。为了防止这种情况，他们将一个又一个严密循环的循环强加于它，认为这样可以强制它循环。基督教徒坚信时间是直线的，因此可以在一个末日结束，把他们带到上帝那里并合上帝一起永恒。
那么季、天、周、和月的循环是什么呢？它们既不会在没有宗教信仰的人面前贬值（月亮，在古代他有很多寓意，现在只能和太阳一起对着磨难悲伤，或者支持天空中的圣母玛丽亚（the Virgin Mary））；也不会被重新评价，就象在仲冬圣诞节炉火的燃烧下，在圣诞节共同选择参加耶稣的生日庆典。循环到处游移，所以周就是仿照创造人类的七天，在每周的安息日，通过每周的庆祝，你的灵魂、心和思想变得更好。西方音乐的结构很好地说明了循环对直线的从属关系：悦耳的节奏，伴随着周期性的停顿，通过和谐形式的固定重复，使结束点和开始不相同。从品柱（吉他等的音乐术语）到乐章结尾部，从头到尾，每一段都是非凡的创造。
占优势的信仰线性论（十字架的地位，灵魂的旅程）和属于它的循环符号论（返回周期性和永恒不变性）之间的对比有时导致复杂的妥协或合并：记得艾萨克·瓦茨（Isaac Watts）的圣歌90的译文：“时间，象一直旋转的河流……”——再早时候，象十字架旁边的圆形的浮雕和光环。毕竟，到postela圣地的朝拜者运送着干贝壳和手杖。但是，两个观点之间的紧张状态从来没有解决，在零的原始本性上又增加了最后的不确定性，现在，在它们中产生的不同特性的继承者反对把这件事情固定化。
第三部分 费尽周折第21节 费尽周折（4）
它依然前进
尝试借用一些这样的想象，象歌德笔下的人物浮士德说的那样，零在黑暗中劈开一条道路，朝着正确的道路前进。但是历史沿着人类的足迹前进。
1240年，亚历山大·维亚地（Alexande De Villa Dei） 写了“阿拉伯数字之歌”， 1250年约翰·塞克堡斯库（John Sacrobosco ）写了“阿拉伯数字的本地化”。在大学中，每个都十分流行：逐行地传诵、抄写并评论。以速记的形式记录的演讲笔记，从十三世纪一直保存到现在，重复这种科学归功于哲学家阿拉嘎斯（Algus），并用符号 表示零。一些评论员承认自己不理解某些不实用的分类途径，的确，在夜晚的时间里，许多大学学者面对维亚地的诗篇抓耳挠腮，迷惑不解：
Prima significant unum；duo vero secunda；
Tertia significant tria；sic procede sinister
Donec ad extremam venias，quae cifra vocatur。