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在此，我们仅限于对数学模型半定量地讨论。所谓半定量地讨论，是指引进变量，但不进行具体的数值运算，只从模型来分析各个量之间的关系。在社会科学研究中进行半定量的讨论，是有价值的。它可以避免大量统计所带来的困难和混乱，又能发挥数学模型的精确判断作用。
一，一个朝代开始时，内部无组织力量越小，王朝寿命就越长。
要计算王朝寿命就必须先求出Ψ、Φ运行轨线。可以在数学上证明，王朝在建朝边界上处的起点位置不同，运动轨迹也是不相交的，如图43所示。如果a1 、a2 、a3……a6 各点为不同朝代起点，a1b1d1等轨线代表各个朝代。数学上可以证明，当王朝建立时无组织力量越小，即越是外部的轨线，相应王朝寿命越长。
这个推论揭示：封建王朝内部无组织力量积累的程度和它的寿命长短有着深刻的内在联系。一个在建朝时看来不那么富裕强盛的王朝，但因其内部无组织力量较小，发展余地倒很大。而一些建朝时十分强大的王朝，其发展余地却很小。
这个推论与历史事实符合程度如何呢？尽管我们目前还缺乏各王朝建朝时无组织力量大小的统计资料，但仍可以举出一些众所周知的历史事实来印证。
西汉和东汉两个朝代，从历史记载上看，东汉初年无组织力量明显大于西汉初年。汉光武帝不敢触犯豪门士族的利益。东汉寿命比西汉短。历史学家知道，在三国基础上实现统一的西晋王朝，无组织力量——一主要是贵族门阀势力相当强大，其寿命也很短。
因为统计资料的不足，我们很难确定一些王朝建立时无组织力量的大小。但是，我们在前面几章中已讨论过，农民大起义对无组织力量扫荡得越彻底，新建王朝初期的无组织力量就越小，其寿命就越长。这一结论，本章用数学模型半定量分析作出了证明。
二，由封建割据统一起来的王朝寿命较短。
1O。5部分证明分裂割据局面出现时，无组织力量不会减小。当一体化调节力量慢慢增大时，分裂割据局面会实现统一。这种由割据统一的王朝内部保存了相当大的无组织力量，因此这样的王朝一般寿命都很短。这一推论与历史事实相符。
在中国历史上，农民大起义后建立起来的朝代比由封建割据统一起来的朝代寿命要长得多。农民大起义后建立起来的朝代是西汉、东汉、唐、明、清，它们的寿命在二百年上下，有的近三百年。由封建割据统一起来的有秦、隋、晋和北宋。前三个朝代寿命很短，只十几年到几十年的时间。北宋有一百多年历史。北宋的情况很特别，但也不与我们推论矛盾。数学上可以证明，当一个王朝建立，无组织力量相当大，而中央一体化调节力量也相当大时，就可以出现一些象北宋这样的特殊的王朝。
三，存在着三类王朝：盛大王朝、短周期王朝和后期王朝。
图43中建朝边界上a1，a2 ……a6 表示六个不同的王朝建朝的初始状态，从其轨线上看，这些王朝可以分为两类。一类是a1b1d1，a2b2d2，a3b3d3，a4b4d4，这四条轨线起始于建朝边界，后来又一次通过建朝边界，它们与建朝边界有两个交点。另昂类王朝的轨线是a5d5，a6d6，它们自建朝边界开始后再也不和建朝边界相交了。
这两类轨线所代表的王朝是有很大差别的。与建朝边界有两个交点的王朝寿命长，后一类寿命短。此外，前一类王朝的轨线中有一段处于建朝边界以上区域，即处于太平盛世。后一类王朝从开始就处于建朝边界与动乱边界之间的尖角形内。尖角形内区域含有两种可能，即统一或分裂。它暂时处于稳定的统一局面，但动乱的可能性已经威胁着它了。虽然轨线要达到动乱边界时才发生崩溃，但一旦王朝的轨线进三角区内，就表示它已离开太平盛世走下坡路了。因此，第一类正朝经过两个阶段：上升阶段，也可以称为太平盛世阶段；由繁荣走向崩溃的后期阶段。第二类王朝没有太平盛世阶段，建立后马上由鼎盛点走向崩溃。我们把第一类王朝称为“长周期王朝”，或“盛大王朝”；第二类王朝称为“短周期王朝”。中国历史上的西汉、东汉、唐、明、清都属于长周期王朝；秦、晋、隋属于短周期王朝。
除了这两类王朝外，还有没有第三类王朝呢？如果一个王朝建立时处于建朝边界的b1，b2，b3……这些点上，那么它建朝初期内部无组织力量就比短周期王朝的无组织力量还要大，但它的一体化调节力量也很大。因而这样的王朝建立后开始按一个盛大王朝的轨线运行，但它没有经过盛大王朝前期的上升阶段。这类正朝我们称之为“后期王朝”。这种王朝在建立时，Ψ和Φ都足够大，类似一个盛大王朝的中后期情况。这造成了一些独特的历史现象，如商品经济一开始就相当繁荣，出现盛大王朝只有中后期才会出现的某些现象。中国历史上只有一个属于这类的王朝，这就是宋朝。宋朝一建立，某些地区（如四川）土地兼并程度相当高，商品经济发达，农民起义次数相当多、规模也较大。这些现象是一个盛大王朝中后期才突出起来的。理论上可以证明，这种很特殊的后期王朝的寿命，介于长周期王朝与短周期王朝之间。宋朝正是这样。理论分析还证明这类王朝只可能是通过统一割据局面建立起来的，这也与宋朝建立的过程相符合。
四，越是盛大王朝，后期变法越困难。
由于建朝边界和动乱边界呈喇叭口形状，越是盛大王朝其轨线越处于外围，后期无组织力量相当大，又离建朝边界很远。在这种情况下，即使搞变法改革，只能暂时减少无组织力量，根本不可能将社会推回太平盛世区域。越是盛大王朝，其轨线越长，变法也越困难。这一现象我们在前九章中已经做了说明。五，短周期王朝崩溃以后，不太容易形成割据局面，而常产生盛大王朝。
从图43可以明显地看出，短周期王朝崩溃时，Φ、Ψ值离建朝边界较近。这也就是说，只要对无组织力量有足够的杀伤，就能很快回到建朝边界，而且处于无组织力量较小的起始点上。这样的王朝往往是一个长周期王朝。而盛大王朝崩溃后，离建朝边界较远，对无组织力量的杀伤也不太容易，这时出现分裂状态的可能性就较大。
历史学家们早已注意到，在中国历史上，秦以后出现的西汉，隋以后出现的唐朝，这汉与唐是两个最盛大的王朝。这种现象决不是偶然的。另外，中国历史上几次分裂割据局面都出现在长周期王朝之后。如东汉以后的三国鼎立，唐以后的五代十国。
需要指出的是，短周期王朝西晋以后出现的长期分裂局面，并不构成上述讨论的反例。我们在第七章中指出，西晋灭亡后长期分裂的出现，是由于一体化调节发生了障碍，使得Ψ的值一直很小，大一统的王朝建立不起来。这是和东汉末年、唐朝末年的情况不相同的。
以上五个推论是从数学模型半定性讨论得到的，如果我们仅仅满足于对超稳定系统作非数学的研究，凭直观是不那么容易把握这些结论的。这就体现出数学模型的作用。
当然，这个模型是非常粗糙的，而且距数值运算的要求还差得很远。我们之所以把建立模型的步骤写出来，无非是想说明把数学模型方法引进到历史研究中来并不神秘。它既不是无用的，也不是万能的。应该说，在今后的研究中，它是必须的，它应该成为历史学家得心应手的工具。数学在历史学研究中也要担负起它在其他学科研究中那义不容辞的责任。数学模式将由历史学家从具体而精细的历史研究中抽出，然后再用它清晰的逻辑推理和明确的预见性，来照亮纷繁变幻的历史现象深处的客观规律。
1981年9月完稿于北京友谊宾馆
兴盛与危机
兴盛与危机
后记
我们在本书中阐述的基本思想，大约产生于1971年。那时，每逢节假日，一些不同学科的同志凑到一起时，总要热烈地讨论各种各样的问题，常常争论得面红耳赤。其中，中国封建社会长期延续原因的探讨是最吸引人的。我们深感用现代科学方法进一步研究我们祖国的历史，认识我们民族走过的道路，是时代向我们这一代人提出的一个任务。
1974年，我们写出了一份七万多字的提纲。此后，不论我们肩上工作和生活的担子怎样日益加重，我们依然时常讨论这份粗糙的提纲，兴趣不减当年。当人一旦抱定追求探索真理的信念而钻研某一问题时，周围的事务和舆论就很难改变他。我们想，不论研究工作遇到多么大的困难，我们都要坚持下去。任何一种思想，只有将它贯彻到底，获得清晰而又简洁的美感，才有可能接近科学的门槛。
1979年，我们将若干年来研究的结果写成一篇四万多字的论文。论文于1980年初发表以后，引起许多人、尤其是年轻朋友们的兴趣。我们陆续收到了近百封来信。许多来信除了表示对我们的工作的支持外，还希望看到更细致和更深入的分析。1980年夏秋之际，我们开始动笔写这本书。
恐怕任何一个研究者都会有这样一种体会：一旦要把自己多年来思索的观点写下来的时候，都将碰到巨大的困难，这就是思想和概念在定型化过程中会发生某种畸变。本来，对于读者来说，理解作者的思想方法、看问题的角度，以及作者在形成观点过程中所走过的弯路，往往是比读其观点更有兴味的。但是在著作中，作者只能拿出自己思想的结晶，而不能奉献孕育着这些结晶的混沌而又丰富的母液。
1981年9月，我们完成了这部书稿，当时内心的激动难以用语言来表达。我们深知，我们的学识和能力与本书的议题及它�