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法了，这就为建立数学模型奠定了基础。
10。4行为曲面与盛衰曲线
建立模型最重要的是明确Ψ、Φ两个变量和S的关系。我们以Ψ、Φ两个变量组成底平面，S为垂直坐标，在SXΨXΦ空间大一统封建王朝就不稳定，封建割据的分裂状态倒是稳定的。我们在讨论Ψ、Φ是如何影响S的时候，首先要设法用数学语言来描述王朝的稳定性。
控制论指出，任何一种稳定态必定有着相应的稳定机制，它可以抽象地用势函数趋于极小值的动态过程来表达，也就是说，稳态状态相当于势函数曲线的一个洼。如图34中，曲线有两个洼，第一个挂的中心位置在A点，第二个洼的中心位置在B点。只要系统处于A点或B点，都是稳定的。
为什么稳定性可以用这种方法来表示呢？因为从系统的行为来看，稳态可以看作是当这一状态受到某种干扰而发生偏离时，系统可以自动消除偏离回到稳定态。图34中的两个洼就具有这种性质。假如系统受到某种干扰偏离稳态A时，系统的势函数就相应增大了。系统的稳定机制是使势函数趋于最小，就会有一个变换，使系统状态回到稳态A。在图34中。这一稳定机制形象地表示为系统状态自动地下滑回A点。同样，另一个洼B点，中，描述S和Ψ、Φ关系的是一曲面，我们称之为“行为曲面”。
知道了行为曲面的形状，就知道Ψ、Φ怎样决定S了。但由于我们不知道势函数G（S、Ψ、Φ）的具体形式，粗一看去，行为曲面是导不出来的。但前面的讨论已明确，势函数最多有两个洼，一个洼代表王朝大一统状态，另一个洼代表封建割据状态。并且，Ψ越大，Φ越小时，大一统状态就越稳定，其相应的洼就越深。而当Φ越大，Ψ越小时，代表封建割据状态的另一个洼就越深。有了这种拓朴特征的规定，我们就可以在不了解函数G（S、Ψ、Φ）的具体形式条件下，也能得到行为曲面。新近的突变理论证明，凡是具有上述条件的势函数洼的位置和控制变量的关系，都可以用折叠型模型来表示，其行为曲面如图 41所示。行为曲面上任一点表示不同的Ψ、Φ值下封建王朝所处状态。行为曲面有一折叠，折叠的上半叶相当于系统处于B状态，即大一统状态；折叠的下半叶表示A状态，即分裂割据状态。折叠面之间的尖角形空间表示大动乱，它是由B到A突变过程的不稳定状态。当Ψ和Φ都很小时，折叠消失在Q‘点七，就是说Φ和Ψ趋于0时，社会组织几乎不存在了，这时也就无所谓社会的统一状态和分裂状态的区分了。
行为曲面的折叠在底平面（控制平面）上的投影为一尖角形（图42）。折叠的一边Q‘M’在底平面上的投影为QM，另一边Q‘N’的投影为QN。我们将QN称为“建朝边界”，QM为“动乱边界”。为什么要这样称呼呢？如果社会一开始处于分裂割据状态K，随着Ψ、Φ两个量的变化，社会状态沿着KK‘曲线在曲面上变化，一旦到达Q’N‘边界上，分裂割据状态的面就中断了。系统状态将突变到行为曲面上半叶的L点，表示大一统的新王朝建立。K’点相应的Ψ和Φ值正好在QN线上，也就是说QN线表示一条边界，只要Ψ、Φ值一旦达到它，新王朝建立，所以称QN为建朝边界。同样，只要Ψ、Φ值落到QM线上，系统状态就从上半叶跌落下来，跌落过程处于折叠区的空间，表示社会的大动乱。所以QM线称为动乱边界。在底平面图上，QM以 下的区域表示系统处于分裂割据状态，大一统王朝不能建立。现在，我们可以用图41所示的模型来形象地描述中国封建王朝的盛衰变化了。我们假定，一个新王朝建立时Ψ、Φ的情在a1点上，随着Ψ、Φ两个值的变化，社会状态点在行为曲面的上半叶沿着曲线a1b' d'1运动。到达d'1点上，Φ、Ψ值就到达了动乱边界，大动乱以突变的方式出现，社会状态顺着d'1K线落下来。一旦社会状态脱离d'1点处于两个折叠面中间时，表示整个社会处于不稳定的大动乱之中。这时，就有两种可能性。一种是大动乱有效地杀伤了无组织力量，使Φ位迅速变小，也就是说Φ值在社会状态离开d'1点时就开始减小，还未落到行为曲面下半叶时，无组织力量Φ的值已充分小，使得Ψ、Φ值又回到建朝边界上。这时系统就不会落到K点，分裂割据不会出现。系统状态在Φ变小过程中落到行为曲面下半叶的折叠边界——建朝边界上，系统马上又以突变的方式回升到行为曲面的上半叶。新的大一统封建王朝建立了。它表示改朝换代。第二种可能性是，大动乱没有有效地消灭无组织力量，Φ值不能迅速变小，Ψ、Φ值不能回到建朝边界上，这时系统就会落到行为曲面的下半叶，表示出现稳定的分裂割据局面。
我们可以看到，只要根据王朝各个时期Ψ、Φ两量的变化，就可以通过模型把握王朝盛衰和动乱。读者显然可以发现第六章图17所示超稳定系统行为曲线，就是根据这一模型画出的。读者会说，这种数学模型有什么用呢？它只不过把我们用描述性语言所叙述的历史过程用一个立体模型图来表示一下而已。实际上数学模型的作用远不止于此，它可以使我们把握用直观的描述性语言所难以捉摸的条件。例如，Ψ、Φ两个变量变化到什么范围内会出现王朝崩溃，在什么条件下稳定的分裂割据状态会出现等等，从而使研究可以更为清晰和细致。下面，我们根据模型作深入一步的讨论。
1O。5王朝盛衰方程
我们先分析Ψ、Φ变化的规律性。中国封建社会存在三种不同状态：大一统王朝的稳定局面、崩溃动乱和分裂割据。在这三种状态下，Ψ、Φ变化的情况是不同的。下面，我们分别进行讨论。
一，统一王朝稳定状态。
这时，Ψ、Φ的变化是连续的，不采取突变的方式。Ψ、Φ两个量的变化可以用微分方程来描述，也就是说，Ψ、Φ两个量各自只能影响对方和自身的增长率，而不能直接限定对方。这是社会稳定期间连续变化的量往往具有的特征。于是可以用如下方移表示Ψ、Φ的关系：
dΨ/dt=p（Ψ、Φ）
dΨ/dt=Q（Ψ、Φ）
一般说来，P（Φ、Ψ），Q（Φ、Ψ）是。，Ψ的非线性函数。在每个大一统王朝中无组织力量和一体化调节力量能存在大致机同的制约关系，我们可以认为方程（1）、（2）对于历代封建王朝都是相同的。显然，只要知道（1）、（2）方程的具体形式，Ψ、Φ两个量在王朝稳定阶段的变化情况就可以确定了。个尽管我们还不具备精细地、定基地考察Ψ、Φ之间关系的条件（缺乏统计分析基础），但仍可以根据前九章得到的历史结论对方程进行考察。
我们已证明无组织力量中的增长是不可遏制的，并且具有自繁殖性。这些特征可以用数学形式表示为；
dΨ/dt=P（Ψ， Φ）》0 ，且
P（Φ1，Ψ）＞P（Φ电，Ψ）当Φ1＞Φ2时 （3）
我们还论证了一体化调节力量越大时，无组织力量越长越慢，这一关系可以表示为：
P（Φ， Ψ1）＜P（Φ， Ψ2）当Ψ1》Ψ2 （4）
当无组织力量大到一定程度对，它对一体化调节力量的破坏将加剧。这种关系也可以用数学表示为：
dΨ/dt=Q（Φ1， Ψ）