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由于对唐尺数值的大小，人们目前的看法还不一致，故评价一行这次子午线测量的精度受到限制。初步的估计结果是，一行的测量值与现代值相比，相对误差大约为11。8％。
国外最早的子午线实测是在公元814 年，由天文学家阿尔·花剌子米（约783—850）参与组织，在幼发拉底河平原进行了一次大地测量，测算结果得出子午线一度长为111。815 公里（现代理论值为110。6 公里），相当精确。但这已在一行之后九十年了。
② 《通典》卷二六《职官典·秘书监》。
③ 梁宗巨：《僧一行发起的子午线实测》，《科学史集刊》，1959 年第2 期，第144—149 页。第三节《大衍历》的九服晷影算法及其正切函数表我国古代历法从东汉《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目。隋朝刘焯发明二次等间距插值法之后，李淳风首先将二次插值法引入到漏刻计算中，由每气初日的漏刻、晷影长度数求该气各日的漏刻、晷影数。但是，各历法中所记载和计算的漏刻和晷影大多是阳城（今河南登封东南告成镇）的数值。一行在编制《大衍历》时，曾进行了大规模的天文测量，通过观测知道，随去极度变化的影长，又因地方而异，但同太阳的天顶距有固定的对应关系。一行在《大衍历》中发明了求任何地方每日影长和去极度的计算方法，叫做“九服晷影”。
古人把阳城作为测影的标准地点，即所谓的地中。如图2 所示，若NP为阳城的北极高度，S1、S2、S3。。为阳城夏至、小暑、大暑等日的太阳上中天位置，则PS1、PS2、PS3。。为阳城夏至、小暑、大暑。。诸气太阳的去极度，取α1＝PS2－PS1、α2＝PS3－PS2。。，则α1、α2 分别为阳城夏至到小暑、小暑到大暑的去极度差数，也是太阳天顶距的差数。且这个差数对任何地点的相应季节都是相等的。
设有某地北极高度为NP′，则夏至、小暑、大暑等日的太阳上中天位置为S′1、S′2、S′3。。。显然，有α1＝PS′2－PS′1，α2＝PS′3－PS′2。
阳城夏至、小暑、大暑太阳天顶距为ZS1、ZS2、ZS3 等，故α1＝ZS2－ZS1，α2＝ZS3－ZS2，同样，有α1＝ZS′2－ZS′1，α2＝ZS′3－ZS′2。
历法中已给出阳城各气初日的太阳去极度，则各气的去极度差即为已知，同样各气的太阳天顶距差亦为已知，而这个差数对于任一地点都是相等的。这样一来，对于任一地方，只要知道某一节气（如夏至）的太阳天顶距，其他各气的太阳天顶距都可以通过加减这个差数求出。剩下还要解决以下两个问题：其一，如何求某地夏至（或冬至）的太阳天顶距；其二，已知天顶距如何换算出晷影长。这两个问题都可以通过建立一个影长与太阳天顶距的对应数表来解决。
如果列出一张以天顶距为引数，每隔一度的影长的数值表，则以上两个问题都可以解决：先在所测地测出（冬）夏至晷影长度（在一行领导的大地测量中，在每处都进行了这样的测量），由影长查表得出太阳天顶距，再加减一个如前所述的差数αi 即可求出该地各气的天顶距，返回再查表得影长。一行在《大衍历》“步晷漏术”中就建立了这样一个从0 度到80 度的每度影长与太阳天顶距对应数表，这是世界数学史上最早的一张正切函数表。①在国外，大约920 年左右，阿拉伯学者阿尔·巴坦尼（al…Battani，约858—929）根据影长与太阳仰角之间的关系，编制了0 度—90 度每隔一度时12 尺竿子的影长表，这实际上是一个12ctgα的数表。另一位阿拉伯学者阿① 刘金沂、赵澄秋：《唐代一行编成世界上最早的正切函数表》，《自然科学史研究》第5 卷第4 期（1986），第298—309 页。
尔·威发（Abul…Wafa，940—998）在980 年左右编成了正切和余切函数表，每隔15 度和10 度给出一个值。他还首次引进了正割和余割函数。②一行和阿尔·巴坦尼差不多沿着相同的途径编成正切和余切函数表。一行用太阳天顶距，阿尔·巴坦尼用太阳仰角，两者互为余角，所以他们两人的发现是相同的。而一行的正切函数表比阿尔·巴坦尼的余切函数表早近两百年，比阿尔·威发的正切表要早二百五十年。尽管一行的正切函数表只从0 度到80 度，误差也相应大一些，但它毕竟是世界上最早的正切函数表。
② 参见梁宗巨《世界数学史简编》；D。E。Smith，HistoryofMathematics，Vol。2。第四节《大衍历》的插值算法今天常用的牛顿插值公式，其不等间距的形式比等间距的形式要复杂得多。天算史界有一种流行的看法，认为在中国古代，唐朝天文学家、数学家一行在其《大衍历》中发明了二次不等间距插值法，且一行还有意识地应用了三次差内插法近似公式①。因此，一行在插值法方面的贡献备受中外天算史研究者的关注。
我国古代非线性插值法，是刘焯在其《皇极历》（604）中考虑到太阳运动不均匀性为计算太阳行度改正值时首创的。有关中国古代插值法的算理研究的新成果表明，刘焯二次等间距插值法的造术原理建立在源于《九章算术》描述匀变速运动的模型基础之上，认为太阳每日的运行速度之值构成一等差数列。质言之，所用数学方法就是构造一等差数列并求其前若干项和。一行的插值法并没有人们所想象那样的推广意义。就插值算法本身，一行算法与刘焯算法实质完全相同②。所不同的是，《皇极历》是在以平气为间隔的日躔表基础上插值。而《大衍历》是在以定气为间隔的日躔表上插值。
《太初历》以后，各历都以平分一回归年365。25 日为24 等份而得每节气长15。22 日，这样规定的二十四气称为“常气”，或叫“平气”。张子信指出“日行春分后则迟，秋分后则速”，于是刘焯造《皇极历》时体会到二十四气皆应有“定日”，他说：“春、秋分定日去冬至各八十八日有奇，去夏至各九十三日有奇。”但刘焯并没有搞清楚太阳速度的加减和季节的关系，他的日躔表是把秋分定日后到春分定日前平均分为12 段，每气14。54 日；春分定日后到秋分定日前也平分为12 段，每气15。45 日。这显然不是“定气”。一行则认为，太阳在一回归年365。2444 日中共行365。2444 度，每气行15。2185 度。冬至附近日行速度最急，故二气间所需运行时间最短，夏至附近日行速度最缓，故二气间的时间最长。实际上，《大衍历》这里首先提出了平分黄道为24 等份，以太阳实际走完每个等份的时间长度为各节气长度，这就是通常所称的“定气”概念。一行提出正确的定气概念以后，在计算太阳改正时自然就以定气为插值间隔。至于插值法本身则完全是沿用刘焯的方法。
值得一提的是，刘焯在日躔表中规定太阳视运动一年内的变化规律是：冬至最快，冬至后渐慢，到立春时开始加快，春分时又达到最快，冬至到春分这段时间内日速比平均速度快。春分后太阳视运动的速度突变为最慢，之后逐渐加快，到立夏时又开始减慢，夏至达到最慢。春分到夏至时段内比平均速度慢。夏至以后的变化情况以夏至处为镜面对称，如图3 所示。
《大衍历》盈缩分一年内的变化趋势则如图4 所示。盈缩分在冬至附近最大，以后逐渐变小，夏至时最小，之后又逐渐增大。这相当于把冬至作为太阳视运动的近日点，夏至为远日点。这种认识是正确的，而《皇极历》的规定是不符合实际的。
① 严敦杰：《中国古代数理天文学的特点》，《科技史文集》（第1 辑），上海科学技术出版社1978 年版，第1—4页。
② 王荣彬：《中国古代历法中的插值法构建原理》，见曲安京、纪志刚、王荣彬：《中国古代数理天文学探析》，西北大学出版社1994 年版，第251—317 页。
说一行有意识地应用了三次差内插法的近似公式，是指《大衍历》的月亮极黄纬算法和五星中心差改正算法中所用的插值法。当对我国古代历法中的插值法的构造原理有了深入的认识之后，研究者进一步通过将这两处插值法的有关术文与刘焯二次等间距插值法的术文进行对比研究，证明两者在实质上也是相同的。
人们之所以会认为《大衍历》使用了三次差插值法，是因为《大衍历》在上述两种算法的插值法中都引入了“中差”概念的缘故。但实际上一行引入“中差”的原因在于，刘焯日躔表中的各气陟降率之差是相等的，而《大衍历》月亮极黄纬等数表相邻两栏的差一般不等。这种现象的出现，正是一行受命改历时作了大量天文观测的结果。若仍照搬《皇极历》的做法，就会出现同一点处有可能得到两个不同的值的现象，这就迫使一行必须在计算方法上进行一点细节上的调整。
第二十三章刘知幾吴兢第一节刘知幾①好学少年，博览史籍刘知幾（661—721），字子玄，彭城（今江苏徐州）人。父亲刘藏器在唐高宗时任侍御史。善于词章，文史很有造诣。有三个儿子，知幾排行第三（在堂兄弟中排行第五）。刚十岁出头的刘知幾学《尚书》，由于深奥难懂，学习不专心，常常被父亲责打。一天，知幾看见父亲给哥哥们讲《左传》，就放下手里的《尚书》，偷偷跑去听，听了几次，对《左传》发生了浓厚的兴趣。《左传》中有很多生动的历史故事，像曹刿论战、卫懿公好鹤、唇亡齿寒等等，人物写得活灵活现，还讲明事件发生的时间、地点，比起类似文件汇编的《尚书》，显然好懂易学。他兴奋之余又想到自己功课，不禁叹息说：“书如是，儿何怠！”这话传到刘藏器耳朵里，就同意小儿子也学《左传》。知幾学完《左传》，这时