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为了进行这种衡量，索洛首先把产量的增长、投入要素投入量的增长以及技术进步三者之间的关系用生产函数表示如下：
Q=A（t）f（K；L）
式中：A（t）——代表由于技术进步而使产量增加的比率。例如，如果A（t）每年增长1％，那么上式说明，即使K和L保持不变，产量也会因技术进步而增加1％。
量技术进步在产量增长中的作用，就是先要找出A（t）的增长率。但在找A（t）的增长率之前，让我们先解释两个数学关系。
（1）设：Q=X？Y
GQ为Q的增长率
Gx为X的增长率
Gy为Y的增长率
那么，GQ=Gx＋Gy
例：假定美国经济在1909—1949年期间，GQ=2．75％（每年）；GL=1％（每年）；GK=1．75％（每年）；β=0．65；α=0．35。
问：（1）在这期间，因技术进步引起的经济增长率是多少？
（2）在此期间，技术进步在产量增长中所起的作用为多大？
解：
即在这期间，因技术进步引起的经济增长率为1．49％。
即在国民生产总值的增长量中，有一半多一点是由于技术进步引起的。
四、生产决策分析（二）产品的最优组合
如果一家企业生产多种产品，那么这些产品的产量如何组合，才能使利润最大？这类问题就是产品产量的最优组合问题。本章从两个方面来讨论这个问题：首先讨论确定这种最优组合决策的理论方法，然后讨论确定这种最优组合的实用方法，即线性规划法。
□ 产品产量最优组合决策的理论方法
为了便于分析，需要先把问题简化。假定：企业只生产两种产品A和B；产品价格和投入要素的成本均为已知，而且不因产量的变化而变化；企业资源（包括：土地、机器设备、劳力等）的数量和构成也是给定的。现在的问题是，在上述假设下，怎样决定产品产量的最优组合？为此，需要使用两种曲线：一种是产品转换曲线（Product Transformation Curve）；另一种是等收入曲线。
□ 产品转换曲线
在这产品转换曲线上的任何点，都代表企业在资源给定的条件下能够生产的各种产品产量的可能组合。如果技术不变，产品转换曲线的位置，就取决于企业资源的多少，如果资源增加，曲线就会向外移动到T2。如果产品产量组合在产品转换曲线的内侧，企业只有按产品转换曲线边界上的产品产量组合进行生产，才能使资源得到充分利用。
需要指出的是，产品转换曲线的斜率始终是负的，这是因为其中一种产品的产量增加，必然会导致另一种产品产量的减少。产品转换曲线的斜率就是产品之间的边际转换率。产品A的边际转换率就是指增加一个单位产品A，会使产品B的产量减少多少。产品转换曲线的斜率=产品A的边际转换率=ΔQB/ΔQA。产品转换曲线还有一个重要的特征是，如果沿着产品转换曲线向右移动，产品A的边际转换率就会递增，即ΔQB/ΔQA的值递增。如果沿着产品转换曲线向左移动，产品A的边际转换率就会递减，即ΔQB/ΔQA的值递减。正由于这一点，产品转换曲线的形状一般总是从原点向外凸出的。
为什么产品A的边际转换率会随着A产量的增加而递增？这是因为边际收益递减规律在起作用的缘故。下面说明这个道理。
为了便于说明，再把问题简化。假定有一家地毯工厂，只有两种资源：资本和劳力；只生产两种产品：手织地毯和机织地毯。生产手织地毯主要使用劳力，生产机织地毯主要使用资本，也就是说，假设不同的产品所使用的资源构成是不同的。当企业只生产手织地毯时，资本资源大量富余。如果手织地毯的产量减少一个单位，腾出的劳动力与较多的资本相结合。所以此时腾出来的劳力的边际产量必然较大，也就是说，少生产一个单位的手织地毯可以多生产较多的机织地毯，即此时，机织地毯的边际转换率（=ΔR1／ΔR2）较小。随着手织地毯产量越来越少，机织地毯产量越来越多，资本资源就越来越紧张，此时，再少生产一个单位的手织地毯所腾出的人工只能和越来越少的资本相结合，手织地毯所腾出的劳力的边际产量就会越来越少，这时少生产一个单位的手织地毯只能导致机织地毯的少量增加，机织地毯的边际转换率就会较大。可见，只要企业的资源数量和构成是固定的，只要不同产品所使用的资源构成不同，因边际收益递减规律的作用，随着一种产品产量的增加，该产品的边际转换率就会递增。
从原点向外凸出的曲线是产品转换曲线的典型形式。产品转换曲线还有两种特殊形式。一种是产品之间不能互相转换的产品转换曲线，这种曲线呈直角形，企业里比例固定的联产品的转换曲线就属于这种曲线。减少A产量并不引起B产量的增加；同样，如果减少B的产量，并不引起A产量的增加。另一种是产品之间能完全转换的产品转换曲线，其形状为一条倾斜的直线。如果企业里两种产品所使用的资源构成完全相同（例如，生产一种产品的两种不同型号时，情况就大致如此），那么，任何一种产品产量的增减，都不会影响另一种产品所能使用的资源构成，因此少生产一种产品而腾出的资源的边际产量将不会变，所以，一种产品产量的增加，与另一种产品产量的减少，将始终按同一比例进行。产品的转换率将始终不变，这样的产品转换曲线就是一条直线。在下面的讨论中，我们假定产品转换曲线都是典型的从原点向外凸出的曲线。
□ 等收入曲线
寻找最优产品产量组合所使用的第二种曲线是等收入曲线。在这条曲线上，各点所代表的不同的产品产量组合都能得到相同的总销售收入。由于企业的总成本是给定的（因为假定企业的资源是给定的），所以，总销售收入最大时，也就是总利润最大。假定PA为产品A的价格，PB为产品B的价格，QA为产品A的产量，QB为产品B的产量，那么，总销售收入（TR）就等于：
方程（2。1。2）表明，每一个总收入TR的值，都有一条等收入曲线。只要产品的价格不变，这些等收入曲线就互相平行，因为它们斜率相同，都等于…PA／PB。
把等收入曲线画到产品转换曲线的图上，就可以找出这两条曲线的切点。这个切点就代表这两种产品最优的产量组合。这种组合是产品转换曲线上各点中能使总收入最大、从而保证利润最大的组合。在这一点上两种产品的价格比率（等收入曲线的斜率）等于产品A的边际转换率（产品转换曲线的斜率）。
□ 产品产量最优组合决策的实用方法——线性规划法
在实践中，由于确定产品转换曲线比较困难，更多地是用线性规划方法来进行产品产量最优组合的决策。
为了能用线性规划方法来确定产品产量的最优组合，需要对有关的因素做一些假设。现假设：
（1）每种产品的单位产量利润是已知的常数；
（2）每种产品所使用的生产方法为已知，而且它们的规模收益不变，即如果投入要素增加1倍，产量也增加1倍；
（3）企业能够得到的投入要素的数量有限，而且已知；
（4）企业的目标是谋求利润最大。
以上假设是大体符合实际的。例如，如果产品的价格不变，企业生产产品的平均成本不变，那么，单位产品的利润也就不变，这样，利润就成为产量的线性函数。在实际生活中，生产方法一旦确定，就不会轻易变动，这时要增加产量，就必须按比例增加投入要素，所以产量是投入要素的线性函数。在短期内，企业可资利用的投入要素的数量是固定的，因此，企业扩大产量要受资源条件的约束。
这样，企业的决策问题就可以写成如下线性规划问题的一般形式：
目标函数：Z=C1x1＋C2x2＋…＋Cnxn→max（最大）
约束条件：a11x1＋a12x2＋…＋a1nxn≤b1
a21x1＋a22x2＋…＋a2nxn≤b2
………………
am1x1＋am2x2＋…＋amnxn≤bm
x1，x2，…，xn≥0
这个一般式由目标函数和约束条件所组成。即要求企业所确定的产品产量在能满足企业资源数量的条件下，使利润最大。
在这一般式中，Z为总利润；x1，x２，…，2xn为企业生产的各种产品；X1，C2，…，Cn为每种产品能提供的利润贡献；b1，b2，…，bm为可供使用的各种投入要素的数量；aij（i=1，2，…m；j=1，2，…n）为第j种产品每生产1个单位所需要的第i种投入要素的数量；最后，非负值约束条件表示各种产品的产量必须是正值，负值是没有意义的。
□ 应用线性规划法来确定企业产品产量的最优组合范例
假定一家企业生产两种产品，x和y；生产单位产品x的利润贡献为4万元，生产单位产品y的利润贡献为6万元。企业使用三种投入要素A，B和C。生产单位产品x要耗用A5个单位，B8个单位（生产产品x不需要耗用C）。生产单位产品y要耗用A10个单位，B6个单位和C10个单位。企业共拥有A50个 单位，B48个单位和C40个单位。这样，可列出目标函数和约束条件如下。
目标函数：Z=4x＋6y
约束条件：5x＋10y≤50
8x＋6y≤48
10y≤40
x，y≥0
可以用图解法和单纯形法来解线性规划问题。图解法比较简单，但应用面较窄；单纯形法较为复杂，但应用面较广。由于一般经济数学课都要详细涉及解线性规划问题的方法，这里只对图解法做简单的介绍，目的是为了更好地理解这种决策的原理和方法。
图解法只适用于目标函数中只有两个变量的情况，因为超过两个变量就无法作图。
图解法的第一步是确定可行区域。