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我们以同样的方式发现了“偶数的”和“奇数的”、“除得尽的”和“素数”的数字特性。我们发现了问题，例如欧几里得「Euclid］问题：素数系列无限还是（如较大的素数越来越稀少所暗示的那样）有限？可以说，这个问题完全是隐蔽的；当我们发明数字体系的时候，它甚至不是未觉察的，而是简直不存在。抑或它存在吗？如果存在，那么它是在观念作用的意义上和纯粹抽象的意义上存在，即在下面的意义上：它潜藏在我们所构建的数字体系中，但仍然存在，没有人意识到它，它未以某种方式隐藏于这个或那个人的无意识中，没有留下物质痕迹。没有任何书中可以读到它。因此在物质上它并不存在。就世界2而论它也不存在。但是它作为一个尚未发现，但可以发现的问题而存在：只属于世界3纯抽象部分的问题的典型事例。顺便说一下，欧几里得不但发现了问题，而且解决了问题。欧几里得发现了对这个命题的证明，即，在每个素数后一定总有另一个素数；由此我们可以断定素数序列是无限的。这个命题描述了对它来说显然是纯抽象的事态：它同样是世界3的纯抽象部分的居民。
XI
也有许多与素数有关的未解决的问题，例如哥德巴赫＇Goldbach＇问题：每个大于2的偶数都是两个素数之和吗？这样的问题也许有肯定的解答，也许有否定的解答；或者也许不能解决；它的不能解决本身也许可以证明也许无从证明。于是产生了新的问题。
这些都是在它们具有影响的意义上是实在的问题。它们首先能够对人类心灵具有影响。人能够看到或发现问题然后试图解决。对问题的领会和解决问题的尝试构成了意识的、人类心灵的活动；这个活动显然也由问题，由问题的存在而产生。对问题的解决办法可能导致一本出版物；因而抽象的世界3的问题可以（经由世界2）使人们开动最重的印刷机。欧几里得写下了他对于素数问题的解决办法。这是具有许多结果的物质行动。在许多教科书即在物质客体中转载了欧几里得的证明。这些是世界1中的事件。
当然，意识，世界2，在从抽象问题到世界1的因果链条中充当着主要的角色。据我所见，世界3的抽象部分，抽象的、非物质内容的世界，即实际的、特定的世界3，到目前为止从未对世界1产生直接的影响；甚至借助计算机也未产生直接影响。这个环节总是由意识，由世界2所锻造。（也许有一天情况会不同。）我认为当我们谈论“心灵”时，我们是指意识——以其与世界3相互作用的角色。
我相信，心灵与世界3的居民的斡旋以决定性的方式影响和塑造了我们有意识和无意识的生活。理解人类与动物的意识的差异的关键就在于此，就在于世界2和世界3的相互作用。
XII
总而言之，可以说世界3，尤其是世界3的被人类语言所创造的那一部分，是我们意识的产物、我们心灵的产物。像人类语言一样，它是我们的发明。
但是这个发明是外在于我们，在我们皮肤之外（“体外”［exosomatic」）的事物。它是客观的事物，如我们的一切发明那样。像一切发明一样，它产生了自己的问题，这些问题尽管是自主的，却依赖于我们。（想一想消防，或者想一想汽车的发明。）这些问题是无意的、意外的。它们是我们的行动的典型的、无意的结果，然而又作用于我们。
客观、抽象、自主然而实在和有效力的世界3就是这样产生的。
一个例子是数学，这个例子也许不完全典型，却仍然明显。它显然是我们的作品，我们的发明。然而几乎全部数学都无疑是客观的、同时是抽象的：它是问题与解决的整体世界，我们不是发明而是发现了这个世界。
因此，那些思索过数学的身分的人大致得出了两种见解。总之我们有两种数学哲学。1．数学是人类的作品。因为它以我们的直觉为基础；或者它是 我们的建构；或者它是我们的发明。（直觉主义；构造论；约定论。）2．数学是凭自身资格客观存在的领域。它是客观真理的无限丰 富的领域，我们并不创造它，而是客观地面对它。这些真理 我们能够发现许多。（这种数学概念通常被描述为“柏拉图主义”。）
这两种数学哲学迄今一直直接对立。但是世界3理论表明它们都是正确的：（例如）自然数的无限系列是我们的语言学发明；我们的约定；我们的构造。但是素数及其问题不是这样：这些我们是在客观世界中发现的，我们的确发明或创造了它，但是它（像所有发明一样）已客观化，脱离了它的创造者，独立于他们的意志之外：它成为“自主的”、“纯粹观念作用的”：它成为“柏拉图哲学的”。
从世界3的观点看，在这两种数学哲学间不会发生争执。至多在关于特定的数学客体——例如数的无限序列或者公理集合论的集合的领域－－是否是人的作品，或者是否我们作为仿佛上帝所给予的客观世界的一部分面对这个领域的问题上仍意见不一。但是至少自从1963年以来（保罗·科恩＇Paul Cohed＇）我们就知道公理集合论也是人的作品。我们久已知道，数学家也难免出错，我们能反驳我们的理论，但是不总能够证明它们。
我已试图解释世界3。现在我开始谈我的讲演的最后一节：对现实的塑造。
3．论对现实的塑造
I
是世界1、世界2和世界3间的相互作用可被看作对现实的塑造；这种相互作用由多种反馈机制所构成，在这种反馈机制中我们用试错法［the method of trial and error」进行操作。即，我们有意识地介入这种反馈机制的螺旋。我们——人类心灵、我们的梦想、我们的目标——是作品的创造者、产物的创造者，同时我们又被我们的作品所塑造。这实际上是人类的创造性成分：我们在创造的行动中同时通过自己的作品改造自己。因此，对现实的塑造是我们的所为；不试图理解它的全部三个方面，这三个世界，不试图理解这三个世界相互作用的方式，就不能理解这个过程。
这种相互作用或反馈机制的螺旋受到我们的在发展的理论和我们的梦想的影响。一个例子是莱奥纳尔多［Leonardo］的鸟的塑造、创造、发明：我们今天都称作飞机的事物。是飞行的梦想，而不是赚钱的梦想，导致了飞行，注意到这一点是很重要的。奥托·利林塔尔［Otto Lilienthal］（我认识他的兄弟）、莱特兄弟［the Wright brothers］和其他许多人梦想飞行并有意识地冒生命危险追求他们的梦想。不是发财的希望，而是对新的自由的梦想——扩展我们的生态学生态位的梦想——激励了他们：奥托·利林塔尔是在寻求更美好的世界的过程中丧失了生命。
世界3在对现实的塑造中，在实现世界2的飞行梦想的尝试中起着决定性的作用。决定性的因素是计划和描述、假定、试验：事故和纠正，一句话，通过批评的尝试与除错法。
这是反馈机制的螺旋，其中研究者和发明者的世界2也起着巨大作用。但更重要的是一些突现的问题，尤其是世界3，它对世界2具有经常的反馈效应。我们的梦想不断地依靠世界3得到纠正，直至它们有一天可以最终实现为止。
悲观主义者们曾向我指出，德国滑翔机飞行员奥托·利林塔尔像莱奥纳尔多一样，梦想像鸟一样飞行的方式。假如他们能看到我们的大型客机，可能会十分震惊。
就我们的想法无疑从未正是以我们想象它们的那种方式实现而言，这句话是正确的。但这句话仍然有误。任何今天想恰恰以莱奥纳尔多和利林塔尔所希望的那种飞行的人只需参加一家滑翔俱乐部。假如他有勇气，这并不太困难。乘坐大型客机或波音747飞行的其他那些人无疑有喜欢这种飞行方式的理由，尽管它与滑翔机大不相同；喜欢它而不喜欢后者或者铁路或者船或者汽车。甚至在巨型飞机的受约束的条件下飞行也为许多人开创了许多新的可能性和许多新的和宝贵的自由。
Ⅱ
巨型飞机无疑是莱奥纳尔多和利林塔尔的梦想的结果，但很可能是不可预见的结果。运用我们的语言、我们的科学知识和我们的技术，我们能够比植物和动物更好地预言我们的梦想、我们的希望和我们的发明的未来结果，但无疑不是好得多。我们认识到关于我们的行动的这些不可预见的结果我们了解得何其少，这是十分重要的。我们可利用的最好的手段仍然是试错法：常常很危险的尝试和甚至更危险的错误——它们有时危及人类。
对政治乌托邦的信念尤其危险。这可能与这样一个事实有关，即寻求更美好的世界，像研究我们的环境一样，（如果我说得对）在所有生命本能中是最古老、最重要的。我们相信我们能够而且应该对改善我们的世界做贡献，这是正确的。但是我们不可想�