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飧龈拍钌贤平檬纸咏执负窝Ъ业墓鄣恪Ｈ嗣枪希榘刖秗＇…1＇的球不是可以具体化的几何构图，但是在解析上它是具有负的恒定高斯曲率度量的曲面。从这个例子再次显而易见，在完全缺乏其他支撑点，在有用的办法以其价值必须受到尊重的时期，用符号实验如何也可以把探究引向正确的路线。甚至高斯也显露出具有虚半径球的思想，这一点从他的关于圆周的公式（致舒马赫（Schumacher），1831年7月12日）来看是很明显的。可是，兰伯特实际上不顾一切地相信，他如此接近第五公设的证明，以致能够很容易地提供所需要的东西。
第十九节
现在，我们可以转向其观点对于几何学概念具有最根本意义，但却仅仅用口头或信件简要报告他们看法的研究者。“高斯认为几何学只不过是在逻辑上连贯的作图体系，它具有作为公理被置于顶点的平行理论；可是，他得以确信，这个命题不能被证明，尽管人们从经验——例如从连结布罗肯（ Brocken）、霍恩哈根（Hohenhagen）和因塞尔斯堡（Inselsberg）的三角形的角度——知道它是近似正确的。但是，如果不承认这个公理，那么他坚决主张，由于不接受它便产生了不同的和完全独立的几何学，他曾经研究过这种几何学，并用反欧几里得几何学的名字称呼它。”按照萨尔托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森（sartoriusvon Waltershausen）的看法，高斯的观点就是这样的。
由这一点开始， O。斯托尔茨在他的十分有教益的小册子中力图从纯粹可观察的经验事实中演绎欧几里得几何学的主要命题。在这里，设给出（图29）一个具有用之和2R的大三角形ABC。我们在BC上画垂线AD，通过BAE≈ABD和CAF≈ACD完成图形，并把全等图形CBHA”G添加到图形BCFAE之中。于是，我们得到单个矩形，因为在E，F，G，H处的角是直角，在A，C，A’，B处的角是平角（等于2R），因此边界线是直线且对顶角相等。通过与在矩形的边之一的中点垂直的垂线，能够把该矩形分为两个全等的矩形，继续这一程序，可以把平分线引到我们在被分割的边上乐意的任何点。相同的作法对于其他两边而言也为真。
因此，从给定的矩形 ABCD（图30）切出相互之间具有形成任何比例的边的较小的矩形AMQP，是有可能的。这个最后的矩形的对角线把它分成两个全等的直角三角形，其中每一个不管边的比例，具有角之和2R。每一个非直角三角形能够通过画垂线被分解为直角三角形，其中每一个能够再次被分解为具有更小边的直角三角形，以致每一个三角形的角之和终归是2R，倘使这对一个三角形严格为真的话。借助这些基于观察的命题，我们容易得出结论，矩形的（或任何所谓的平行四边形）的对边不管延长得多么远，处处离开的距离相同，也就是，永远也不相交。它们具有欧几里得平行的性质，可以像这样称呼和定义。现在，从三角形和矩形的性质同样可得，如此被第三条直线相交的两直线，致使它们同一侧的内角之和小于两直角，它们在该侧相交，但是在二者之中的任一方向，它们从它们的交点起将运动得相互无限地远离。因此，直线是无穷的。是作为公理或初始原理陈述的无根据的断言的东西，作为推理的结果可以具有健全的意义。
第二十节
因此，几何学是由把数学应用于关于空间的经验构成的。像数学物理学一样，它只有在它描述经验对象的条件下，借助图式化和理想化的概念，才能变成精密的演绎的科学。恰如力学能够断定质量的恒定性，或把物体之间的相互作用仅仅在观察误差限度内还原为简单的加速度一样，同样地也仅仅能够在相似限制内坚持直线、面的存在，角之和的量等等。但是，正像物理学有时发现它自己被强使用其它比较普遍的假定代替它的理想的假定，用依赖距离的加速度取代落体的恒定加速度，用热的可变量而不是热的恒定量一样，当事实要求相似的程序或该程序对科学的阐明暂时是必要的时候，也同样容许它在几何学中存在。现在勒让德（Legendre）、罗巴切夫斯基和两个鲍耶的努力将显示在他们的新见解中，较年轻的那位鲍耶可能直接受到高斯的激励。
第二十一节
我们将不谈及也是高斯同代人的施韦卡特（ Schweickart）和陶里努斯（Taurinus）的辛劳。罗巴切夫斯基的工作是变得为思想界的人所知，并且如此富有成果的第一个（1829）。此后不久，较年轻的鲍耶的出版物发表了（1833），它与罗巴切夫斯基的在所有基本之点一致，只是在它的发展形式上有所偏离。根据原文（1899年出版），可以容许假定，罗巴切夫斯基也着手他的研究，以期望由于反驳欧几里得公理而变得陷入矛盾之中。但是，在他发现他自己在这一期待中犯了错误之后，他具有理智勇气从这个事实引出全部推论。罗巴切夫斯基以综合的形式给出了他的结论。不过，我们能够相当有理由地想像为构造他的几何学铺平道路的一般的分析思考。
从处在直线 g（图31）之外的一点向下引垂线p，通过平面pg内的同一点画直线h，使它与垂线成锐角s。在作出g和h不相交、但在稍微减小一点点角s时它们会相交的假定时，空间的均匀性立即迫使我们得出结论：具有同一角s的第二条线k本身在垂线的另一侧举止相似。因此，通过同一点所画的所有不相交的线都位于h和k之间。后者形成相交的线和不相交的线之间的边界，罗巴切夫斯基称其为平行。
在《几何学的新原理》（ 1835）的引言中，罗巴切夫斯基证明他自己是一位彻底的自然探究者。没有一个人会想到把下述未加工的观点甚至归因于有感官的普通人：“平行角”比直角小得多，当稍加延长时能够清晰地看到，它们能够相交。在这里所考虑的关系只容许在歪曲了真实比例的绘图中表示，相反地我们必须想象，由于截量（cut）的维度，s偏离直角的变化如此之小，以致h和k表面看来难以区分地重合起来。现在把垂线p延长到超过它与h的交点的一点，并通过它的端点画新线l平行于h，从而也平行于g，由此可得，平行角s’必然小于s，倘若h和l不再满足欧几里得案例的条件的话。以相同的方式继续延长垂线和画平行，我们得到不断减小的平行角。现在，考虑更远离的、从而在收敛一侧更急剧收敛的平行，我们将在不与先前的假定抵触的情况下，被迫从逻辑的角度假定，在趋近或垂线的长度减小时，平行角将再次增大，因此，平行性的角是垂线p的反函数，罗巴切夫斯基用II（p）来标示它。平面上的平行群之排列在图32中用图解表示。它们都相互对称地趋近它们收敛的一侧。空间的均匀性要求能够使两个平行之间的每一个“条带”与每一个另外的条带重合，倘若把它在纵向上移动所需要的距离的话。
第二十二节
如果设想圆无限地增大，那么当不断增加的弧达到圆的半径的收敛与平行一致的地点时，这些半径将停止相交。于是，圆通过所谓的“界线”。类似地，如果球面无限地增大，它将通 罗巴切夫斯基命名的“界面”。边界线与边界面具有的关系，类似于大圆与球面具有的关系。球面几何学与平行公理无关。但是，由于能够证明，由界线在界面上形成的三角形与在无限半径球上的有限的三角形相比并没有显示出角之和的过量，因此欧几里得几何学的法则对于这些边界三角形也有效。为了找到边界线的点，我们在处于平面上的平行把（ bundle）a α ， b β ， c γ ， d δ ……中决定这些平行中的每一个的点 a，b，c，d，这些点相对于aa中的点a如此定位，以致于 ∠α ab＝ ∠β ba， ∠γ ca， ∠α ad＝ ∠δ da……（参见图33）。由于整个构图的同一性，可以把每一个平行看作是界线的“轴”，当界线绕这个轴转动时，它将产生界面。同样地，也可以把每一个平行看作是界面的轴。出于相同的理由，所有界线和所有界面都是全等的。每一个平面与界面之交是圆；只有当割平面包含轴时，它才是界线。在欧几里得几何学中，不存在界线，也不存在界面。在这里，它们的类似物是直线和平面。如果不存在界线，那么必然地，任何不在直线上的三点必定在圆上。因此，比较年轻的鲍耶能够用这最后的公设代替欧几里得公理。
第二十三节
设a α ， b β ， c γ 是平行系， ae，a 1 e 1 ，a 2 e 2 ……是界线系，这些系中的每一个都把另一个分为相等的部分（图33）。因此，在相同的平行之间的任何两个界弧的相互之比率，例如ae＝u和a 2 e 2 ＝u’，仅仅依赖于它们分开的距离aa 2 ＝x。我们可以一般地提出u/u’＝ex/k，在这里k如此选取，以使e将是自然对数系的底。以这种方式引入指数，并借助这些引入双曲函数。对于平行性的角来说，我们得到s＝cot1/2 ∏ （ p）＝e p/k 。若p＝0，则s＝ π ／ 2；若p＝ ∞ ，则 s＝0．
一个例子将阐明罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学和球面几何学的关系。对于具有边a，b，c和角A，B，C的直线罗巴切夫斯基三角形来说，当C是直角时，我们得到 sinh（a/k）＝sinh（c/k）A。 。在这里，sinh代表双曲正弦，sinhx＝1/2（e x －e …x ）而sinx＝（1/2 i）（e ix －e －ix ），或者sinhx＝x／1！＋x 3 ／3！＋x 5 ／5！＋x 7 ／7！和sinx＝x／1！－x 3 /3＋x 5 /5！－x 7 /7！＋……。
考虑到在前述的公式中所包含的关系sin（xi）＝i（sin