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处置变量的变化率。一个不变的速度可以用在时间t 所经过的空间s 来量度；
不论s 与t 的大小如何s/t，一量是一定的。但是如果速度是变化的，那么
要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出速度变化的极短的时间
来量度在这个时间内经过的空间。当s 与t 无限地缩小，而成为无限小时，
它们的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds／dt，而叫做
s 对于t 的微分系数。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用
来不大方便，现在已被莱布尼茨的写法代替了。我们在这里不过是拿空间与
时间来做例子罢了。其实任何两个量，只要是彼此依赖，都可用同样的方法
来处理。x 对于y 的变化率都可写作莱布尼茨的记法dx/dy 或牛顿的记法上
②。
逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积
分，常常是比较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个
质点的引力去计算整个球体的引力，就得用积分法③。阿基米得用了类似的方
法去计算面积与容积，但他的方法由于远远超过了他那时代，所以后来就失
传了。
含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微
分方程式：困难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答①。有一个事实
说明牛顿了解这个原理：他算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，
而所用的方法则无异于列出光线路径的微分方程式②。
在《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多
② J。M，Child，上引书。
①
L。T。More，Lsaac Newton，New york，1934，p， 565 等页。
②
每个函数的微分系数之值都可计算出来，例如设y＝x 则可得dy／dx＝nxn…1。
③ 每个微分，都有一个对应的积分；因此上面所举的微分例中xn 即是对应的积分。可以证明：。 除非n 是
…1，那时积分是logx＋c。在每一例里，c 都是一个未知的常数。它在许多实际问题中，都是可以消去的。
①
举一个简单的例，方程式ydx＋xdy＝o 可以改写为于是可以分项积分，便得
②
Letter tO Flamsteed． Calalogue of the Newton MSS， Cambrige， 1888。P·xlll．
结果可能是通过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在
莱布尼茨和别尔努利（BernouiIli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数
学和应用数学的基础。
牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提
出了很多方程式理论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经
叙述过的动力学和天文学外，他还创立了月球运行的理论，算出了月球位置
表，由这个表可以预测月球在恒星间的位置。这一工作成果对于航海有无上
价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理论，且对流体静力学作了很多
的改进。
物理光学与光的理论
单凭他在光学上的成就，牛顿就已经可以成为科学上的头等人物③。光的
折射定律，即入射角与折射角的正弦之比为一常数，是斯内耳在1621 年所发
现的。费马则指出，按这条路径前进，通过时间最短。1666 年牛顿得到“一
个三梭镜来实验有名的色彩现象”，而且他选择了光学来做他讲课和研究的
第一个题目。他的第一篇科学论文也是讲的光学， 1672 年发表在《皇家学
会哲学杂志》上。德·拉·普敕姆（De la Pryme）在他的日记中说：1692
年牛顿往礼拜堂时，忘记了熄灯。这引起了一场火灾，把他的著作都焚毁了，
二十年的光学研究成果也在其中。但牛顿在他的书的序言中却没有提及这件
事。他说：“1675 年应皇家学会某些会员的请求，写了一篇关于光学的论
文，。。其余则是大约十二年后加入的。”
1611 年，斯帕拉特罗的大主教安托尼沃·德·多米尼斯（Antonio de
Domininis）提出一种虹霓的理论。他说山水滴内层表面反射161 出来的光，
因经过厚薄不同的水层，而显出色彩。笛卡尔提出一个更好的解释。他认为
色彩和折射率有关，并且成功地算出虹霓弯折的角度。马尔西（Marci）使白
光透过棱镜，并发现有色彩的光线不再为第二棱镜所散射。牛顿把这些实验
加以扩大，并且把有色光线综合成白光，从而澄清了这个问题。他还认为望
远镜里妨碍视线的各种色彩也是由于类似原因而产生的，并且错误地断定，
要阻止白光分散成各种色彩就必然要在同时阻止放大率所必需的折射；因而
他认为要改进当时的折射望远镜是不可能的，于是他发明了反射望远镜。
其次，他还考察了胡克描写过的肥皂泡和其他薄膜上都有的薄膜的色
彩。他把一个玻璃三棱镜压在一个已知曲率的透镜上，颜色就形成圆圈，后
来被人叫做“牛顿环”。牛顿仔细地测量了这些坏圈，并把它们一点一点地
和空气层厚度的估计数比较。他又用单色光重复了这个试验，这时只有光环
与暗环交错出现。牛顿断定每一确定颜色的光都是痉挛似地时而容易透射，
时而容易反射。如果在反射光下去看白色光所成的坏，某一在一定厚度下恰
好透射过去的颜色便不会反射到眼里，于是眼所看见的便是白色光减去这一
颜色的光，换言之即看见一种复色光。牛顿于是推断：自然物的颜色至少有
③
看Optics ， or a Treaflse of the Refliections ， Refractions，Inflectlons andColours of Light， bY Sir lsaac
Newton， Knt， London， 1704， 1717， 1 721， 1730，再看“Newton’S Work in Optics”， by E。T。
Whittaker，in lsaac Newton ed w。J． Grecnstreet，London， 1927；and in A History of Theorles of theActhcr
and Elcctrlci，E。T。Whittaker， 1910。
一部分是由于它们的微细结构的缘故，他并且算出产生这种效果所必需的大
小。
格里马耳迪（Grimaldi）的实验，证明极窄狭的光束平常虽走直线，但
遇到障碍时就沿障碍物的边角而弯曲，所以物影比其应有的形式为大，因而
形成了有颜色的边沿。牛顿重复并扩大了格里马耳迪的实验。牛顿证明让光
线通过两个刀口之间的狭缝，弯曲度就更大了。他对狭缝的宽窄和偏转的角
度都进行了仔细的观察与测量。
牛顿还考察了惠更斯所发现的光线通过冰渊石所生的异乎寻常的折射现
象。在这种矿石里，一条入射光产生了两条折射光；在把这两条光线的一条
分离出来，使它再通过另一冰洲石时，如果第二个冰洲石的结晶轴与第一个
的轴平行，这条光线仍能通过，如果152 两个冰渊石的轴恰成正交，这条光
线便不能通过。牛顿看出这些事实说明不管一条光线怎样，它不能是对称的，
而必然在不同的方面有一些不同。这就是偏振理论的要点。
除了这些现象之外，在考虑光的性质时，还有一个事实也需要估计在内。
1676 年，勒麦（Roemer）观察到当地球行到太阳与木星之间时，木星的卫星
的掩食比平常约早七、八分钟，反之，若地球在太阳另一面时，木卫的掩食，
则常迟七、八分钟。在后一情形下，木卫的光线须行过地球的轨道，即比前
一情形的距离长些。观测所得的差异说明光的传播需要时间，而不是一发即
到。
牛顿说他本来还打算进行一些光学实验，但由于办不到，所以他对于光
的性质也就没有得出明确结论，只提出一些问题让别人去探讨与解答。他的
最后意见，似乎总结在第29 问题中①：。。
光线是不是发光体射出的极小物体？因为这样的小物体可以直线地经过
均匀的介质，而不弯曲到阴影中去②。这正是光线的本性。。。如果折射是由
于光线的吸引力形成的，则入射角的正弦必定与折射角的正弦成一定的比
例。
根据光的微粒说，很容易说明这个“一定的比例”必定可以量度光线在
密的介质中的速度和在稀的介质中的速度的比例。牛顿继续说：
要使光线时而容易反射，时而容易透射，只需要它们是一些小物体。这
些小物体靠了它们的吸引力或某种别的力量，在它们作用的物体中激起颤
动，这些颤动比原来的光线更要迅速，于是次第赶上它们，并且搅动它们，
仿佛轮·流地增加或减少它们的速度，因而使它们具有那种特性。最后，关
于冰洲石的反常折射，看来那很象是隐藏在光和冰洲石晶体质点的某几边的
某种吸引力造成的。
把光线看做是射入眼中的微粒的观念，可以追溯到毕达哥拉斯派。思培
多克勒与柏拉图则认为眼里也射出一些东西。这种触须式的理论也为伊壁鸠
鲁和卢克莱修所持有。他们有一种混乱的观念，以为眼看物与手以棍触物有
些相同。亚里斯多德反对这看法，主张光是介质中的一种作用（。。 ）。所有这
些都不过是163 猜度，无比对与不对，同样是无价值的。不过，在十一世纪，
阿耳哈曾（Alhazen）却举出一些明确的证据，说明视象的原因在于对象，而
不是来自眼中，可是在他的时代以后很久，还时常有触须式的见解出现。
① 上引书，P。 347。
② 这是不计算由衍射而来的微小偏折。
笛卡尔认为光是一种压力，在充满物质的空间内传播。胡克说光是介质
中的迅速颤动。这个波动说经惠更斯加以相当详细的发挥。他用几何学的作
图法（图4），描绘了折射的过程。当光的一个波阵面（AC）由空气投到水
面（AB）之