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不清的看法。刻卜勒以为潮汐的成因在月球，但他是占星家，因而他同时相
信恒星与行星也有影响。也许正是由于这个缘故伽利略才嘲笑他悦：“对于
且球支配水以及神秘的特性等一类琐事，他都洗耳倾听，表示同意”①。
《原理》一书第一次为潮汐理论奠定了健全的基础。牛顿用数学的方法，
研究了月球与太阳的引力合在一起对于地上的水的影155 响，同时还把流动
的水的惯性及狭窄的海峡与运河的骚扰效果估计在内。潮汐情况是很复杂
的，自牛顿以来，有许多数学家提出过详细的理论，其中可以提到的有拉普
拉斯与乔治·达尔文爵士。但《原理》书中的一般论述仍然是有效的。
质量与重量
给予物质以惯性并且和重量迥然不同的质量的概念，起初暗含在伽利略
的研究成果中，后来又明显地见于巴利安尼的著作中。巴利安尼是热那亚的
弓箭队长。他把质与重加以区别①。在《原理》中，这个分别更加明确。牛顿
根据波义耳关于空气容积与压力的实验，从密度方面达到质量的概念。既然
在一定量的空气中，压力P 与容积U 成反比例，因此，它们的乘积PV 是一
个常数，可以用来量度一定容积中空气的质量，或者用原子论来说，代表压
缩在那个容积里的质点的总数，牛顿给予质量的定义是：“用物体的密度和
① system of the World； Galileo Galilei； Fourth Dialogue； quoted by J。Proudman， Isaac Newton； ed。
W。J。Greenstreet； London； 1927；p。87。
看“Newton and the Art of Discovery〃；by J。m。Child； in Isaac Newoln；p。127。 Child 以为牛顿可能受了巴利安
①
尼的影响。
体积的乘积来量度的、该物体中所合的物质的量”，而力的定义是“一个物
体所受到的、足以改变或倾向千改变该物体的静止状态或等速直线运动状态
的作用”。
牛顿把观察的结果与定义归纳为运动三定律：
定律一：每一物体都始终维持其静止或等速直线运动的状态，只有受了外加的力，
才被迫改变这种状态。
定律二：运动的改变（即运动量的改变率ma），与外加的致动的力成比例，而发
生于这种外力所作用的直线方向上。
定律三：反作用与作用总是相等而相反；换言之，两物体间的相互作用，总是大
小相等，方向相反。
牛顿所表述的动力学基本原理，支持了这一学科的发展达二百隼之久。
在1883 年马赫发表他的《力学》第一版①以前，没有人对这一表述所依据的
假定提出过严格的批评。马赫指出牛顿的质量定义与力的定义使我们陷入逻
辑上的循环论证中，因为我们只有通过物质对我们的感官所产生的作用才能
知道物质，而且我们也只能用单位容积中的质量来作密度的定义。
在总结动力学起源的历史时，马赫指出，伽利略、惠更斯与牛156 顿在
动力学上的研究成果，实际上只意味着发现了同一条基本原理，可是由于历
史上的偶然情况（这在一个全新的学科中是不能避免的），这一条基本原理
却用许多貌似独立的定律或词句表达出来。
当两个物体互相作用，例如靠了其间的引力，或靠了一条把它们连接起
来的螺旋弹簧相互作用时，它们相互产生的反向加速度的比例是一定的，而
只决定于这两个物体中的某种东西，这种东西，如果我们愿意的话，可以叫
做质量。这个原理是靠实验建立起来的，我们可以下一个定义说：两个物体
的相对质量，是用它们的相反的加速度的反比例来量度的，而它们中间的力
就是其中任何一个物体的质量与其加速度的乘积。
这样我们可以摆脱牛顿的质量定义与力的定义中包含的逻辑上的循环论
证，而得到一个以实验为根据的简单陈述，由此可以推导出伽利略、惠更斯
和半顿的许多原理——如落体定律、惯性定律、质量的概念、力的平行四边
形，以及功与能量的等效。
通过落体的实验，伽利略发现速度与时间成正比例而增加。这样一来，
本原的关系就是：动量的憎加，可以用力与时间的乘积来量度，或mV＝ft，
即牛顿定律。假使伽利略首先发现的事实是：由加速度a 而来的速度，随经
过的距离S，按平方的关系而增加，则这种关系v2＝。。
2as（实即等于惠更斯的功与能量的方程式：fs＝
12
mv2 ，看起来就是本原的
关系了。由此才见，力和动量所以看起来似乎比较简单和比较重要，功和能
量的概念所以稽迟很久才被人接受，主要是由于历史偶然性的缘故。事实上
它们是互相关联的，任何一方都可以从他方推导出来。
再回到牛顿的定义时，我们还可以用另一个方法逃避逻辑上的循环论
证。这个方法虽然不如马赫的方法完备，对有关的问题却有所阐发。牛顿已
经认识到，人们从肌肉用劲的感觉得到力的机械概念，他本来很可以从这条
道路找到一条逃避循环论证的途径。动力学可以看做是把我们对于运动中的
①
Dr E。 Mach； Die Mechanik in ihrer Enwickelung；1883。
物质的感觉提高到理性水平的科学，正如热学同温暖的感觉有关一样。我们
从空间或长度与时间的经验，得到本原的观念；我们肌肉的感觉同样地给我
们力的观念。这一感官所粗略地量度出来的等量的力，作用于不同的物体时，
将产生不同的加速度，因此我们可以把每一物体的惯性，即对于f 力的抵抗，
称为它的质量，并可以说，它是用一定的力所产生的加速度a 的反比来度量
的。因此m＝f/a。这样，质量的观念就是从一个心理状态，即我们的肌肉对
于力的感觉而来的。也许有人会批评这个方法把心理学引到物理学中来，但
是，指出这样做，就可以免除物理学中逻辑上的循环论证，却还是有一定意
义的。
在这样得到了质量的明确观念之后，我们就从实验中发现物体的相对质
量大致是一个常数。于是我们可以提出一个假设说：这个近似的常数是严格
真实的，或至少有高度准确的真实性，这样，我们就可以把质量M 当作长度
L、时间T 以外的第三个基本单位。从这个假设得来的无数推论在J．J．汤
姆生与爱因斯坦的时代以前，同观测与实验是高隆精确符合的。所以这个假
设是经过充分的验证的，除了非常特殊的情况外，它还是有效的。
质量既然可以用惯性来量度，剩下来的问题就是找出质量与重量的关系
了。所谓重量也就是把物体拉向地球的吸引力。这问题也为牛顿所澄清了。
史特维纳斯和伽利略的实验，表明两个重量不同的物体，W1 与W，以同
样的速度落地。物体的重量就是地球引力所产生的力，实验的结果证明重力
所生的加速度a1与a2，是相同的。根据上面所说的质量的定义，两物体的相
对质量m1与m2可用以下的关系来确定：
m1=W1/a1及m2=W2/a2；
a1=W1/m1及a2=W2/m2。
现在我们了解，任何公式的玩弄①或任何形而上学的考虑（如经院哲学由
亚里斯多德那里得来的）都不能导出两个自由落体的加速度的关系。等到史
特维纳斯和伽刊略用落体进行实验，才证明a1＝a2，是一个事实。但是，这
一点既经证明之后，从方程式所规定的质量、重量与力的定义便得：
W1W2 W1 m1
m1
=
m2
或
W2
=
m2
即两物体的重量与它们的质量成正比例。这是一个真正惊人的结果。牛
顿指出，这个结果要求重力必须“是从一个原因而来的，这个原因并不是按
照其所作用的质点表面的数量而起作用（机械的原因常是这样的），而是按
照物体所含的实际质量的数量起作用的”①。事实上，牛顿的天文学研究的结
果，证明重力的作用必定“贯彻到太阳的中心和行星的中心，而不丝毫减少
它的力量”。
伽利略的实验没有达到，也不能达到很大的精确度。巴利安尼更仔细地
重新进行了这个实验。他从一点让一个铁球和一个同样大小的蜡球同时坠
落。他发现当铁球已落了50 呎而到地时，蜡球还差1 呎。他正确地解释这个
差异是由于空气的阻力，这种阻力虽然对两个球体是一样的，但对于抵抗重
① 除非这玩弄者是爱因斯坦，而已公式中含有相对性原理。而相对性原理也是根据实验建立的。马赫在此
似乎错了；他说从他的质量的定义可以得到质量与重量的比例关系，但他暗暗地引入了a1＝a2 的结果。
①
Prlnslpia， 1713 ed。pp。483—484。
量较小的蜡球更为有效②。牛顿对于这个结果更加以精密的考察。他从数学上
证明一个摆锤摆动的时间必定与其质量的平方根成正比，与其重量的平方根
成反比。他又用了不同的摆锤来做仔细而精确的实验，摆锤的大小相同，以
便它们所受的空气的阻力相同。有的摆锤是各种物质的实体，有的是空球装
上各种液体或谷类的颗粒。在所有的情况下，他都发现在同一地点，同长的
摆在度量误差的极小范围之内，摆动时间是相等的。这样，牛顿就以更大的
精确度证实了重量与质量成正比的结果，而这个结果本来是可由伽利略的实
验推出来的。
数学方面的改进
把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用
的工具——数学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作
的时代，也就是数学知识与技术进步很大的时代。
牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后159 来虽
有争执，但看来都是独立发明出来的①。变速观念的出现，要求有一种方法来
处置变量的变化率。一个不变的速度可以用在时间t 所经过的空间s